§ 5.1. Задача анализа нелинейных

РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

Вводные замечания

Процессы, протекающие в нелинейных электрических цепях, на­много сложнее и разнообразнее, чем процессы в линейных цепях и в то же время они менее исследованы. В нелинейных цепях могут иметь место явления, которые не наблюдаются в цепях, содержащих только линейные элементы. Например, реакция нелинейной цепи на внешнее воздействие может содержать гармонические колебания таких частот, которые отсутствуют во внешнем воздействии; при приложении к не­линейной цепи только постоянных токов и напряжений в ней при оп­ределенных условиях могут возникать незатухающие колебания, так называемые автоколебания; интенсивность реакции нелиней­ной цепи на определенное воздействие, как правило, нелинейно зави­сит от интенсивности воздействия, причем плавные изменения частоты или интенсивности внешнего воздействия могут приводить к скачко­образным изменениям частоты и интенсивности реакции; во многих случаях реакция нелинейной цепи на заданное воздействие не опре­деляется однозначно; при одних и тех же воздействиях нелинейная цепь может иметь несколько установившихся режимов, называемых состоянием равновесия, причем некоторые из этих со­стояний могут оказаться неустойчивыми. Явления, имеющие место в нелинейных элементах, положены в основу функционирования большин­ства радиоэлектронных устройств, причем важнейшие для радиоэлект­роники процессы генерирования колебаний, модуляции, детектирова­ния, выпрямления, ограничения, умножения и преобразования часто­ты и многие другие в принципе не могут быть реализованы с помощью линейных цепей с постоянными параметрами.

Как отмечалось ранее, характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нели­нейность характеристик невелика и при построении упрощенной мо­дели ею можно пренебречь, в других — нелинейностью характеристик реальных элементов пренебречь нельзя и при построении упрощенных моделей таких цепей приходится использовать идеализированные эле-

менты с нелинейными характеристиками. Нелинейность характери­стик реальных элементов обычно считается несущественной, если ее наличие не является принципиальным для функционирования устрой­ства, т. е. приводит лишь к появлению некоторых второстепенных эф­фектов, которыми в рамках решаемой задачи можно пренебречь. На практике нелинейностью характеристик реального элемента, как пра­вило, можно пренебречь, если характеристика элемента практически линейна в рабочем диапазоне токов и напряжений, а функционирова­ние устройства не построено на использовании нелинейности соответ­ствующей характеристики. Следует, однако, иметь в виду, что окон­чательное решение о том, является ли нелинейность несущественной, не может быть произведено в рамках линейного приближения, а тре­бует решения задачи с учетом нелинейности характеристик.

Рассмотрим лишь основные особенности и методы расчета цепей, содержащих нелинейные резистивные элементы (нелинейные резисто­ры, транзисторы, диоды и т. п.). Более детально процессы в нелиней­ных цепях, в том числе и в цепях, содержащих нелинейные энергоем­кие элементы (нелинейные конденсаторы и индуктивные катушки), рассматриваются в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы».

Нелинейные резистивные элементы

В соответствии с основным методом теории цепей при изучении не­линейных резистивных цепей не будем рассматривать физические процессы, имеющие место в реальных элементах, а ограничимся лишь представлением этих элементов с помощью упрощенных моделей, за­меняющих каждый из элементов в рамках решаемой задачи. В частно­сти, будем пренебрегать эффектами, связанными с запасанием энергии электрического и магнитного полей, имеющими место во всех реаль­ных элементах, и считать, что свойства нелинейных резистивных эле­ментов полностью определяются их статическими вольт-амперными характеристиками (ВАХ). Для каждого реального элемента зависи­мость между мгновенными значениями токов и напряжений будет сов­падать с ВАХ только в том случае, если частота изменения токов и напряжений на внешних зажимах элемента не превышает некоторого предельного значения. В этом случае нелинейный резистивный эле­мент можно рассматривать как безынерционнный. Если ра­бочая частота элемента близка к предельной или превышает ее, то ста­тические ВАХ не отражают зависимости между мгновенными значе­ниями токов и напряжений на зажимах элемента. При таких условиях нелинейный элемент следует рассматривать как инерционный.

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные двухполюсные элементы (резисторы с нелинейным сопротивлением, электровакуумные и полупроводниковые диоды) и нелинейные много- лолюсные элементы (транзисторы различных типов, электровакуум­ные триоды и пентоды). При принятых ранее положительных направ­лениях токов и напряжений ВАХ нелинейных пассивных двухполюс­ных элементов должны располагаться в первом и третьем квадрантах координатной плоскости и— i и проходить через начало координат.

Если ВАХ нелинейного резистивного элемента хотя бы частично рас­полагается во втором или четвертом квадрантах либо не проходит че­рез начало координат, то потребляемая таким элементом мощность может быть отрицательной и, следовательно, такой элемент не яв­ляется пассивным.

Вольт-амперная характеристика нелинейного двухполюсного эле­мента может быть симметричной (см. рис. 1.3, а) или несимметричной (см. рис. 1.3, б, в) относительно начала координат. Для двухполюсни­ка с симметричной характеристикой выполняется условие

i (и) = —i (—и)

или (5.1)

и (i) = —и (—/).

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного резистивного элемента с симметричной характе­ристикой поменять местами. Если условие (5.1) не выполняется, то ВАХ нелинейного резистивного двухполюсника не является симмет­ричной.

Различают нелинейные резистивные элементы с монотонной и не­монотонной ВАХ. У элементов с монотонной ВАХ увеличение прило­женного к элементу напряжения приводит к увеличению (или хотя бы не уменьшению) тЬка и, наоборот, увеличение тока приводит к воз­растанию падения напряжения на элементе. Напряжение и ток на за­жимах такого элемента связаны между собой однозначной зависи­мостью, причем производные du/di и dildu во всех точках ВАХ прини­мают только неотрицательные значения. Если хотя бы в ограничен­ном диапазоне изменения токов и напряжений увеличение напряже­ния на зажимах элемента приводит к уменьшению тока или, наоборот, увеличение тока приводит к уменьшению напряжения, то ВАХ тако­го элемента — немонотонна. Ток и напряжение нелинейного резистив­ного элемента с немонотонной ВАХ не связаны между собой взаимно однозначной зависимостью.

Различают немонотонные вольт-амперные характеристики N- и S-типов. У элементов с N-o б р а з н о й ВАХ (см. рис. 1.3, б) каж­дому значению напряжения на зажимах элемента соответствует вполне определенное значение тока, однако в определенном диапазоне изме­нения токов одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных значений напряжения. Элементы с S-o б р а з- н о й ВАХ отличаются тем, что в некотором диапазоне изменения напряжений заданому значению напряжения соответствует несколь­ко различных значений тока (см. рис. 1.3, б).

Вольт-амперная характеристика безынерционного нелинейного ре­зистивного двухполюсного элемента может рассматриваться как за­висимость мгновенного значения реакции данного элемента у — у (t) на некоторое воздействие от мгновенного значения воздействия х = ~ х ((). Для однозначного определения этой зависимости ВАХ N- типа должна быть представлена в виде функции i — i (и), а ВАХ S- типа — в виде и = и (£)• При таком представлении ВАХ рассматри­

ваемых элементов содержат как восходящие, так и падающие участки. На восходящих участках dy/dx положительна, на падающих — отри­цательна. В связи с тем что дифференциальные сопротивления нели­нейных резистивных элементов на падающих участках ВАХ отрица­тельны, нелинейные двухполюсные элементы с немонотонной ВАХ обычно называют элементами с отрицательным со­противлением.

Рис, 5.1. Типовые ВАХ термис­тора

Зависимость между токами и напряжениями элементов с монотон­ной ВАХ может быть представлена как в виде и = и (i), так и в виде г = i (и). Дифференциальное сопротивление элементов с монотонной ВАХ не принимает отрицательных значений.

‘■упр
'l		ь+ ЬУПР

У^пР

о-

Рис. 5.2. Электрически уп­равляемый нелинейный трех- полюсиик

Вид ВАХ нелинейного резистивного двухполюсника может зависеть от некоторой величины, не связанной непосредственно с токами или напряжениями цепи, в которую включен данный элемент, в частности от температуры, освещенности, давления и др. Такие элементы отно­сятся к неэлектрически управляемым двухпо­люсникам. Так как каждому значению управляющей величины соответствует своя кривая, характеризующая зависимость между то­ком и напряжением на зажимах неэлектрически управляемого резис­тивного двухполюсника, то такие двухполюсники характеризуются семейством ВАХ (рис. 5.1).

Важнейший класс нелинейных резистивных элементов составля­ют электрически управляемые элементы (тран­зисторы различных типов, вакуумные и газоразрядные трехэлектрод­ные и многоэлектродные приборы). Элементы этого типа содержат два основных электрода (катод и анод у электронных ламп, эмиттер и кол­лектор у биполярных транзисторов, сток и исток у полевых транзис­торов), сопротивление между которыми изменяется под действием тока или напряжения одного или нескольких управляющих электро­дов (сетки у электронных ламп, базы у биполярных транзисторов, затвора или подложки у полевых транзисторов). В частности, ток i нелинейного резистивного трехполюсника (рис. 5.2), имеющего два основных и один управляющий электроды, является функцией напря-

Рис. 5.3. Типовые входные (а) и выходные (б) характери­стики биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером: it5 — ток базы, in ~ ток коллектора; «кэ — напряжение коллектор — эмиттер; ибэ — напряжение база—эмнттер

жения между основными электродами и и тока t_ynp или напряжения Ыупр управляющего электрода:

i i (и, tynp) ИЛИ t = / (U, Иуир). (5*2)

Как видно из рис 5.2, выводы нелинейного управляемого трехпо- люсника образуют с остальной частью цепи два контура — основной (выходной) и управляющий (входной), причем один из выводов яв­ляется общим для обоих контуров.

Электрически управляемые нелинейные резистивные элементы мо­гут быть охарактеризованы различными семействами ВАХ. Выход­ные ВАХ отображают зависимость между выходным током i и вы­ходным напряжением и при различных значениях входного тока £_упр или напряжения и_упр (рис. 5.3, б; 5.4, а), входные ВАХ — за­висимость между входным током и входным напряжением при различ­ных значениях выходного напряжения (рис. 5.3, а), проходные ВАХ — зависимость выходного тока от входного тока или напряже­ния при различных значениях выходного напряжения (рис. 5.4, б).

Рис. 5.4. Типовые выходные (а) и проходные (б) характеристики полевого транзистора с изолированным затвором в схеме с общим

истоком:

ic — ток стока; иаи — напряжение затвор—исток; ися — напряжение сток-

исток

Вид ВАХ нелинейного управляемого резистивного элемента существен­ным образом зависит от схемы включения элемента, т. е. от того, какой из электродов является общим для основного и управляющего кон­туров.

ГR(u)

Рис. 5.5. Условные графические обоз­начения нелинейных сопротивлений: а — с N-образной характеристикой; б — с S-образиой характеристикой; в —с моно­тонной характеристикой; г— неэлектриче­ски управляемое

На принципиальных электриче­ских схемах реальные нелинейные резистивные элементы изображают с помощью установленных стан­дартами ЕСКД условных графиче­ских обозначений. При построении эквивалентных схем цепей нелинейные резистивные элементы либо изображают в виде двухполюсников или многоплюсников (см. рис. 5.2), либо представляют схемами замещения, содержащими наряду с дру­гими элементами идеализированные нелинейные сопротивления (рис. 5.5). Для неэлектрически управляемых сопротивлений рядом с «полочкой» на условном графическом обозначении сопротивления ука­зывают буквенное обозначение соответствующей управляющей ве­личины (рис. 5.5, г).

Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей

Как и в случае линейных электрических цепей, задача анализа не­линейной резистивной цепи заключается в общем случае в определе­нии токов и напряжений всех или части ветвей при заданных парамет­рах независимых источников энергии. Если нелинейная цепь включа­ет в себя р ветвей, из которых р_т ветвей содержат независимые ис­точники тока, а р_ан состоят только из независимых источников напря­жения, то для определения 2р — р_ат — р_т, неизвестных токов и на­пряжений можно воспользоваться р уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа, и р — р_т— р_ИН уравнениями ветвей.

В связи с тем что токи ветвей дерева любой электрической цепи од­нозначно выражаются через токи главных ветвей, а напряжения глав­ных ветвей — через напряжения ветвей дерева, при выборе дерева графа нелинейной резистивной электрической цепи в качестве ветвей дерева необходимо использовать ветви цепи, содержащие нелинейные элементы с S-образной характеристикой, и ветви с независимыми ис­точниками напряжения, а в качестве главных ветвей следует выби­рать ветви с источниками тока и ветви, содержащие нелинейные резис­тивные элементы с N-образной характеристикой. Нелинейные резистив­ные элементы с монотонной ВАХ могут входить как в состав ветвей дерева, так и в состав главных ветвей. Очевидно, что все уравнения основной системы уравнений электрического равновесия нелинейной резистивной цепи будут алгебраическими, причем, по крайнем мере, одно из компонентных уравнений будет нелинейным.

Аналитически разрешить такие уравнения можно только в исклю- штельных случаях, при некоторых специально подобранных видах [елинейности. Как правило, эти уравнения решают приближенными •исленными, графическими или графо-аналитическими методами. В ря- \е случаев исследование процессов в простейших нелинейных ре- •истивных цепях удается провести без составления уравнений элект- jH4ecKoro равновесия — путем выполнения различных преобразова- (ий исходной цепи.