§ 6.3. Операторный метод анализа

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Преобразование Лапласа и его применение к решению

дифференциальных уравнений

Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воз­действие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности пред­ставляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ра­нее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный ме­тод относится к символическим методам, в которых операции над функ­циями времени заменяются операциями над их символами (изображе­ниями). Взаимное соответствие между функцией времени a (t) и ее

ч

изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

А (р) =L [а (^)] = j е~'Р* a (t) dt (6.46)

о

или обратного

CFe+j'oo

a (t) =L~^l [А (р)] =—Ц- Г еР⁽ А (р) dp (6.47)

2л/ J

Он —/оо

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия

а (0 = А (р).

Функция А (р) называется операторным изображе­нием функции a (t) или изображением функции р. (t) по Лап­ласу. Исходная функция времени а (t) по отношению к своему опера­торному изображению является оригиналом. Комплексное чис­ло р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл пос­леднего понятия будет пояснен в следующем параграфе).

Из курса высшей математики известно, что для функций а (t), равных нулю при / < 0, интегрируемых при (>0н удовлетворяющих неравенству

| а (0 | < К е°»⁽,

где К и сг₀ — некоторые постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при Re (р) > а₀. Изображение А (р) в полуплоскости Re (р) > о₀ является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при Re(p)->-oo. На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа [6, 7]. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1. Следует иметь в виду, что в ряде справочников, в частности в [6], приведены таблицы преобразовании Карсона—Хевисайда

^Ак (Р) = Р J е~~ ^pi а (0 dt — рА (р),

О

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р. Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа.

Изображение по Лапласу постоянной величины К равио этой величине, деленной на р:

К = К/p- (6.48>

Умножение функции времени а (/) на постоянное число К соответствует ум­

ножению на это же число ее изображения:

Ка (0 = КЛ (р). (6.49>

Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

2 at (0 = V} Л_г (р), (6.50)

i=l

где a, (t) == A_t (р).

Если начальное значение функции a (t) равно нулю а (0+) = 0, то диффе­ренцированию функции a (t) соответствует умножение изображения этой функ­ции на р (теорема дифференцирования)

da (t)

т~ рА (р); (6.51)

dt

при а (0+) ф 0

da (О

dt

(6.52)

= Р^А (,Р)~а (0‘₊)

Повторным применением теоремы дифференцирования, можно получить выражения для производных высших порядков:

d² а (t) da (t)

= Р [РА (р) —а (₀₊)]

dt*

dt

* = о

+

da (t)

= Р² А (р) —ра (0₊)-

dt

jk -1

( = 0

•к-

I

dt>

( = 0

+

Интегрированию функции времени в пределах от 0 до / соответствует де­ление изображения этой функции на р (теорема интегрирования:

j* a (t) dt = А (р)/р; (6.53)

О

смещению функции времени на t₀ соответствует умножение изображения

-Р<о

на е

(теорема запаздывания):

(6.54)

a(t-t₀)= А (р).

а смещению изображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число к соответствует умножение оригинала на e~^w (теорема смещения):

e~^ua(t) = A(p-\-Х).

Значения функции времени при t = 0 и t — оо могут быть найдены с по­мощью предельных соотношений

а (/==0) = Нтп рА (р);

р-*эс Re р> О

a (t= оо)= lim рА (р) р->- о

предполагается, что соответствующие пределы существуют).

Если изображение А (р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

N (Р) М (р)

а_п р^п ; р^п -f- а_г р -)- а₀

(6.55)

А (р) =

Ь_т Р^т+ ь„

причем степень полинома М (р) выше, чем степень полинома N (р), а уравнение

М (р) = 0 (6.56)

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к-оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

^N (Р) ■ V ^{N (Ра)} ер* t

п

/V1 (р) ' ^ dM k = I

(6.57)

где р¹ — корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, когда А (р) является произвольной мероморфной функции р, т. е. функ­цией, не имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе оператор­ного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разра­ботанного в середине прошлого века русским математиком М. Е. Ва­щенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к ана­лизу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А. Круг, В. С. Игнатовский, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Конторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Минусин­ский, Б. ван дер Поль, П. Леви.

При использовании операторного метода решения дифференциаль­ных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегро- дифференциальных уравнений электрического равновесия, составлен­ная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных от­носительно операторных изображений соответствующих токов и напря­жений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения иско­мых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммута­ции. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перей­ти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравне­ний баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к урав­нениям баланса операторных изображений токов и напряжений доста­точно в уравнениях (1.37), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

2/*(/>) = 0; (6.58)

k

%U_h(p) = 0. (6.59)

k

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.42), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

2 Иi (р) = 2 Ej (р)• (6.60)

» /

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравне­ниями баланса токов и напряжений в опе­раторной форме, а операторные изображения токов и напря­жений— операторными токами и напряжения­ми. *

По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Z = Z (/ю) и комплексной входной проводи­мости Y — Y (/со) введем понятия операторного входного сопротивле­ния Z (р) и операторной входной проводимости Y (р).

Операторным входным сопротивлением пас­сивного линейного двухнолюсника называется отношение операторно­го напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нуле­вых начальных условиях

Z(p)= U (р)/1 (р), (6.61)

где /(/?)=/ (0 и U (р) = и (t) — операторные изображения тока и

напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при t > 0

и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (р), называется операторной входной проводимостью

Y (р) — 1/z (,) = 1(р) /V (р). (6.62)

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному со­противлению и комплексной входной проводимости, ие зависят от интенсивно­сти внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двух­полюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному ли­нейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замеще­ния, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется сво­

_им операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их оператор­ными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Jr (P)

Рис. 6.8. Операторная схема замещения сопро­тивления

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсни­ков.

Сопротивление. Соотношения между мгновенными значениями тока и на­пряжения на зажимах сопротивления устанав­ливаются выражениями (1.9), (1.10): ы_д =

— R^r\ Lr ⁼ ' GUr.

Учитывая, что умножению функции вре­мени на постоянное число соответствует ум­ножение изображения функции на это же число (6.49), для получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме доста­точно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Ur ip) = RIr (РУ, (6.63)

/я (Р) = GU_R ip). (6.64)

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.61), (6.62), находим вы­ражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости

Z_R (р) = R- Y_H (p) = G = 1 !R. (6.65)

Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на

рис. 6.8.

Емкость. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16):

_ du_n 1 с

ic = С ——— ; ис — ис (0) + • I ,ic dt. at с j

о

Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем

1_С ip) =/> CU с ip) - Си с (0); (6.66)

и„ (0) 1

Ис(0=—+-^с(0. (6-67)

Р рС

Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) яв­ляются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях (и_с (0) = 0) они принимают вид

/_с (р) = pCU_c (р)-, U_e (р) = Ic ipVipC).

Таким образом, операторное входное сопротивление Z_c (р) и опе­раторная входная проводимость емкости Y_с (р) определяются выраже­ниями

Z_c (Р) = 1 !(рС)\ Yс (р) = рС. (6.68)

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответст­вуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока Си_с (0) или напряжения и_с (0)1р. При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схе-

h(P)

са_с(о)

«М'Чр⁰-

Чр)

^ис(Р)

■в)

\г _С(р)=1(рс}

Рис. 6.9. Операторные схемы замещения емкости: а — параллельная при ненулевых начальных условиях; б — последовательная при ненулевых начальных условиях; в — при нулевых начальных условиях '

ме емкости остается только один элемент — операторное входное со­противление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.9,

в).

Индуктивность. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

1

u_l = L ; i'l = i'l(0) + у J u_L dt.

о

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктив­ности в операторной форме:

(р) = pLIl (р) — Li_b (0); (6.69)

II ip) = ib (0)1 p + U_L (p)!(pL). (6.70)

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную вход­ную проводимость индуктивности

Z_b (Р) = PL; Y_l (р) = 1 /(pL) (6.71)

и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 6.10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, опера­торные схемы замещения индуктивности содержат независимый ис­

точник напряжения Li_L (0) или тока i_L (0)/р, характеризующий началь­ный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплекс­ных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены /ш иа р.

Аналогичным образом может быть получено выражение для опера­торного входного сопротивления (проводимости) произвольного линей­ного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных

h(P) q^l(0)

Рис. 6.10. Операторные схемы замещения индуктивности: а — последовательная при ненулевых начальных условиях; б — параллельная при ненулевых начальных условиях; в — при нулевых начальных условиях

h(P)

\^zUp)⁼p^l

^UUP)

^в)

элементов. Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных усло­виях можно использовать все рассмотренные ранее (см. гл. 2) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воз­действии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преоб­разования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивности могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее (см. гл. 2) приемов преобразования активных двухполюсников.

Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изобра­женный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, дол­жен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи к напря­жения идеализированных источников тока или напряжения — пред­ставлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная эквивалентная схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнитель- ные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее элект­рического равновесия в операторной форме, которая будет равносиль­на основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации.

В связи с тем что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновен­ных значений, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электри­ческого равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного ме­тода решения дифференциальных уравнений и позволяет анализиро­вать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Общая схема применения метода

Наметим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

1. Анализ цепи до коммутации и опреде­ление независимых начальных условий. Вы­полняются так же, как и при использовании классического метода ана­лиза переходных процессов.

2. Составление операторной эквивалент­ной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схе­мой замещения и представления токов и напряжений идеализирован­ных источников тока или напряжения их операторными изображения­ми.

3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме мо­жет быть сформирована любым из рассмотренных в гл. 4 методов непо­средственно по операторной схеме замещения цепи.

4. Решение уравнений электрического рав­новесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ра­нее метода сигнальных графов.

5. Определение оригиналов искомых то- кови напряжений. Как правило, производится путем приме­нения таблиц обратного преобразования Лапласа [6] и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение инте­

6. ресующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно восполь­зоваться теоремой разложения.

• ••••

Пример 6.4. Для цепи, схема которой приведена на рис. 6,11, а, найдем за­висимость тока и напряжения индуктивности i₃, и₃ от времени при t > 0. Э.д.с. идеализированного источника постоянного напряжения е (t) при t — 0 скачком изменяется от Е_х до Е_г:

«н:

г Е_г при t < 0;

. Е₂ при t > 0.

Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока индуктивности

^г'з(Р) ^{= г}з(0+) = 4(0-) — Ei /Ri •

Для построения операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации (рис. 6.11, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их оператор­ными схемами замещения, а э. д. с. идеализированного источника напряжения

'г/р

адД

"j 01) |»_гПр T 0

т v/pL g Wj(p)T

kCP)i^LEi/\ )

Рис. 6.11. К примеру 6.4

Е2 — операторной э.д.с., Е_г (р) = Ejp. Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме

(Ri + R₂) 1ц (Р) R₂I₂₂ (р) EJp>

Rt^ii (Р) “Н (R2 “I^- pL) 1ц (р) — LEjR_lt

где /_п (р) = /j (р) ф t\; /₂₂ (р) = /₃ (р) = 1₃. Решая эту систему уравнений, находим операторные изображения искомого тока

I* (Р) -= IR1R2E2 + pL (Ri + R2) E_xV{_PRi \pL (Ri + R₂) + R,R₂]} и напряжения

Uз (p) = _PLI₃ (p) - E₁L/R_l --= fLR₂ (E_t - £,)]/[pL (R_r + R₂) + R_tR_tl

Преобразуем получениые выражения к такому виду, чтобы для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

+

Р {P-f Ri R,/IL (R_t + R₂)]} L (Ri + R₂) ’

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

Ri+Ri

где т = (Ri + R₂) L/(R_tR₂) — постоянная времени рассматриваемой цепи.

Как видно из полученных соотношений, в начальный момент времени ток ин­дуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации i₃ (0) = EJR_t, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к E₂'Ri. Напряжение индуктив­ности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до и₃ (0+) = = R₂ (Е₂ — £,) (Ri + R₂), а затем плавно уменьшается до нуля.

Нетрудно заметить, что в начальный момент времени (t = 0+) ток и на­пряжение индуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником то­ка (рис. 6.11, в), ток которого равен i₃ (0) = EJ R_x. Таким образом, в началь­ный момент после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализиро­ванному источнику тока (при нулевых начальных условиях ток этого источ­ника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в началь­ный момент времени можно считать разомкнутой).