§ 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью Понятие взаимной индуктивности

Две или более индуктивных катушек называются связанны- м и, если изменение тока одной из катушек вызывает появление э. д.с. в остальных. Напомним, что явление наведения э.д.с. в какой-либо индуктивной катушке при изменении тока другой катушки называется взаимоиндукцией, а наведенная э.д.с. — э. д. с. в з а и м о- индукции.

Фн

Ф₂₂

53?

ф-.

ад

гг

V

^р« *%

¹ А А

* О о 1 1'

2 2'

5) ^{2 2}'

I I’

^а)

Рис. 2.43. Связанные катушки индуктивности:

а согласное включение; б встречное включение

I Рассмотрим две индуктивные катушки, расположенные таким об-

• разом, что магнитный поток, вызванный током одной из катушек, про-

• низывает витки другой катушки (рис. 2.43). Пусть ij и t₂ — токи иер- I вой и второй катушек, а Ф_и и Ф₂₂ — магнитные потоки . самоиндукции этих катушек, т, е. магнитные потоки, прони- . зывающие каждую из катушек и вызванные протекающим по ней током.

Часть магнитного потока самоиндукции первой катушки Ф₂₁, которая

пронизывает витки второй катушки, назовем потоком взаимо­индукции второй катушки. Часть магнитного потока самоиндукции первой катушки Ф_5ь которая не пронизывает витки второй катушки, назовем магнитным потоком рассе­яния первой катушки, часть магнитного потока самоиндук­ции второй катушки Ф₁₂, которая пронизывает витки первой, назы­вается потоком взаимоиндукции первой катуш­ки, а часть магнитного потока самоиндукции второй катушки Фзг, которая пронизывает только витки второй катушки, — потоком рассеяния второй катушки (на рис. 2.43 изображено только по одной силовой линии каждого из магнитных потоков). Та­ким образом, магнитный поток самоиндукции каждой из катушек со­держит по две составляющие

Ф_и = Ф₂₁ + Фвь Ф₂₂ = Ф12 + Фвг (2.149)

Полный магнитный поток, пронизывающий каждую из катушек, складывается из магнитных потоков самоиндукции и вза­имоиндукции:

Фх = Фц ± Фхг; Ф₂ = Ф₂₂±Ф_а1. (2.150)

Потокосцепление каждой из катушек так же, как и магнитный поток, имеет две составляющие —потокосцепление самоин­дукции ¥_и, ¥₂₂ и потокосцепление взаимоин­дукции Т₂₁, 4V

Yi-YaiT»; У, = ± (2.151)

Когда все витки каждой из катушек пронизываются одинаковыми магнитными потоками, выражения (2.151) могут быть записаны в сле­дующей форме:

Т, -= = N₁Ф₁₁ ± ^хФ_1а; (2.152)

Y2 — УУ₂Ф₂ — №₂Ф22 i ^2®21>

где Nx и N% — число витков первой и второй катушек.

Знак плюс в выражениях (2.150) — (2.152) соответствует совпада­ющим по направлению (предполагается, что катушки расположены соосно) магнитным потокам самоиндукции и взаимондукции каждой из катушек. Такое включение катушек индуктивности называется сог­ласным (рис. 2.43, а). Знак минус соответствует противоположным направлениям магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции. Такое включение катушек называют встречным (рис. 2.43, б).

В соответствии с законом электромагнитной индукции (1.19) элект­родвижущие силы, наводимые в каждой из связанных катушек индук­тивности:

(Г¥, ( </¥„ dV_l2

Первое слагаемое в каждом из выражений (2.153) представляет со­бой э.д.с. самоиндукции, второе — э. д. с. взаимоиндукции. Преоб­разуем выражения (2.153), формально умножив и разделив каждое из слагаемых на {Ц_г или di₂:

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

В индуктивных катушках без ферромагнитных сердечников маг­нитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции пропорциональны вызывающим их токам, поэтому производные потокосцеплений пото­кам могут быть заменены отношением соответствующих величин. Ин­дуктивность каждой катушки L_x или L₂ есть отношение потокосцепле­ния самоиндукции к вызвавшему его току:

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

(2.156)

Связанные индуктивные катушки, у которых потоки самоиндукции и взаимоиндукции пропорциональны вызвавшим их токам и, следова­тельно, величины Lj, L₂, УИ₁₂ и УИ₂₁ не зависят от и t'₂, называются катушками с линейной индуктивностью. Для них всегда выполняется условие поэтому

М₁₂ = М₂₁ = М. (2.157)

Взаимную индуктивность выражают в генри (Гн).

С учетом введенных обозначений (2.155), (2.156), (2.157) э.д.с., на­водимые в каждой из катушек:

[ dt dt

(Li— ±М-^Ц.

² ^ ² dt dt J

(2.158)

Переходя от э.д. с. к напряжениям на зажимах связанных индук­тивных катушек, получаем окончательно

dh	+ M-&-
dt	dt
di%	+ м dil .
dt	dt

Е_г

В теории электрических цепей рассмотрение реальных элементов — связанных индуктивных катушек — заменяют рассмотрением их упро­щенных моделей — связанных индуктивностей. Связанные

индуктивности представляют собой идеализированные эле­менты, отражающие основные явления, которые присущи связанным индуктивным катушкам: самоиндукцию и взаимоиндукцию, или, в ко­нечном счете, явления запасания энергии в магнитном поле. В связан­ных индуктивностях не происходит запасания энергии в электричес­ком поле или преобразования ее в другие виды энергии, что всегда в той или иной мере имеет место в реальных элементах.

Ток и напряжение на зажимах связанных индуктивностей задаются выражениями (2.158). Если рассматриваемая цепь содержит п связан­ных индуктивностей, то зависимость между токами и напряжениями на их зажимах определяется системой уравнений:

Г Я /I din , , Jl Ж dljl

^u^^Ll~JT^±M^ir^:h-^±MlnU"'

^u^±^M₂₁~f + ^L2~±...dzM_2n^-- ₍₂₁₅₉₎

ы„ = ± М_п1-%-±М_мL_n-4r-

dt dt dt

где Mi) = Мл — взаимная индуктивность между t-й и / -й связанны­ми индуктивностями.

Уравнения (2.158), (2.159) следует рассматривать как компонент­ные уравнения ветвей, содержащих связанные индуктивности.

Понятие об одноименных зажимах

При анализе цепей с взаимной индуктивностью возникает задача определить, каким образом (согласно или встречно) по отношению к выбранным условным положительным направлениям токов включены рассматриваемые индуктивные катушки и в соответствие с этим какой знак (плюс или минус) необходимо использовать в выражениях (2.158), (2.159). Если конструкции индуктивных катушек, в частности направ­ления их намотки, известны, а направления токов заданы, то для выбо­ра знака в выражениях (2.158), (2.159) или (2.150) — (2.154) доста­точно, воспользовавшись правилом буравчика (правохо­дового винта), определить направления магнитных потоков самоиндук­ции каждой из катушек. Например, применяя правило буравчика, ус­танавливаем, что у катушек, изображенных на рис. 2.43, а, направле­ния магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции у каждой из катушек одинаковы, а у катушек, изображенных на рис. 2.43, б, — противоположны.

При вычерчивании принципиальных электрических схем цепей с взаимной индуктивностью индуктивные катушки изображают с по­мощью условных графических обозначений, которые не отражают осо­бенностей их конструкции. Для выяснения, является ли данное вклю­чение катушек согласным или встречным, вводят понятие одноименных зажимов связанных индуктивных катушек.

Одноименными зажимами двух связанных индуктив­ных катушек называется пара зажимов, выбранных таким образом, что при одинаковых относительно этих зажимов направлениях токов кату­шек магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции в каждой из них суммируются. Одноименные зажимы индуктивных катушек поме­чают одинаковыми значками (буквами ник, точками, звездочками, тре­угольниками и т. п.), проставляемыми в непосредственной близости к соответствующим зажимам. Так, на рис. 2.43, а звездочками отмечены одноименные зажимы 1 и 2. Вторую пару одноименных зажимов этих катушек образуют зажимы 1' и 2', специально не обозначенные, так как

Рис. 2.44. Условные графические обозначения связанных индуктивностей на экви­валентных схемах

для решения вопроса о том, является ли заданное включение согласным или встречным, достаточно обозначить одну пару одноименных зажи­мов. На рис. 2.43, б точками обозначены одноименные зажимы 1 и 2'.

Аналогично поступают и при построении эквивалентных схем элект­рических цепей с взаимными индуктивностями. Условное графическое изображение связанных индуктивностей, используемое при построе­нии таких схем, показано на рис. 2.44, а. Когда общим магнитным по­током связано не две, а большее количество индуктивностей, одноимен­ные зажимы каждой из пар обозначают с помощью различных значков (рис. 2.44, в).

Итак, если токи связанных индуктивностей одинаково ориентирова­ны относительно одноименных зажимов, то такое включение является согласным и в выражениях (2.158) следует использовать знак плюс; в противном случае, включение является встречным и необходимо ис­пользовать знак минус (величина М при этом считается положитель­ной). Например, индуктивности Lj и L₂ на рис. 2.44, а и и L₂ на рис. 2.44, в включены согласно, а индуктивности L₂ и L₃, и L₃ (рис. 2.44, в) включены встречно.

До сих пор рассматривались только соосно расположенные индук­тивные катушки. В общем случае, когда направления осей связанных индуктивных катушек не совпадают, при выборе способа их включения используют несколько иной подход. При этом в выражениях (2.158) берут знак плюс, а взаимную индуктивность рассчитывают по формуле

М =- M_max cos а,

где а — угол между направлением магнитных потоков самоиндукции и взаимоиндукции в центре катушек.

Коэффициент связи между индуктивными катушками

Из качественного рассмотрения процессов в связанных индуктив­ных катушках следует, что чем сильнее связаны катушки, т. е. чем боль­шая часть магнитного потока, создаваемого током каждой из них, про­низывает другую катушку, тем выше взаимная индуктивность. Однако при этом не ясно, как связана взаимная индуктивность с индуктив­ностями катушек, и чем определяется максимальное значение М. Введем новую величину, количественно характеризующую степень свя­зи между катушками -- коэффициент связи. Коэффициент связи Им представляет собой среднее геометрическое из отношений потока взаимоиндукции к потоку самоиндукции каждой из катушек:

k_M =УФ₁₂ Ф₂₁/(Ф_п Ф₂₂). (2.160)

Представляя магнитный поток самоиндукции каждой из катушек в виде суммы потока рассеяния этой катушки и потока взаимоиндук­ции другой катушки (2.149), получаем

км = Т^Фм ФяО (Ф12“ЬФ52). (2.161)

Из выражения (2.161) видно, что значения коэффициента связи лежат в пределах

0<йд|<1, (2.162)

причем kM та? = 1 только тогда, когда потоки рассеяния обеих кату­шек равны нулю, или, другими словами, когда магнитный поток, созда­ваемый током одной катушки, полностью пронизывает другую катуш­ку. Коэффициент связи определяется конструкцией катушки и практи­чески всегда меньше единицы.

Коэффициент связи kM можно выразить через индуктивности свя­занных катушек и их взаимную индуктивность. Подставляя в (2.160) выражения для потоков самоиндукции Ф_1Ь Ф₂₂ и взаимоиндукции <>12. Ф₂1- полученные из (2.155), (2.156), находим

M

£ =1 / ^12 М₂₁ Ч/Мй « / ^12 ^21

^м V L_x iJN_t L₂ ('sj/.Vj ~ V L_v L_%

УLj L₂ откуда

M=k_M VL₂. (2.163)

Из выражения (2.163) с учетом (2.162) можно определить пределы, в которых изменяются значения взаимной индуктивности:

0<М<УГ71Г. (2.164)

Таким образом, максимальное значение взаимной индуктивности катушек не может превышать среднего геометрического их индуктив­ностей.

Цепи с взаимной индуктивностью

при гармоническом воздействии

Для анализа цепей с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии можно воспользоваться рассмотренным ранее методом ком­плексных амплитуд. Переходя в выражениях (2.158) от мгновенных значений токов и напряжений к их комплексным изображениям и при­нимая во внимание, что дифференцированию гармонических функций времени соответствует умножение их изображений на /ю, получаем компонентные уравнения связанных индуктивностей в комплексной форме

Uy = /м/.! /_х ± /ыМ/₂; U₂ = /(oL_a /₂ ± (2.165)

Комплексное действующее значение напряжения на каждой из свя­занных индуктивностей помимо падения напряжения на комплекс­ном сопротивлении индуктивности Z _L — ja>L, вызванного протекаю­щим по ней током, содержит также дополнительный член, который мож­но рассматривать как падение напряжения на некотором комплексном сопротивлении Z_M = ja>M, называемом сопротивлением связи, вызванное протекающим по нему током другой индуктивно­сти:

Ui = Zu /_х ± Z_M /₂; U₂ —Zl2 ± Zm

Комплексная схема замещения пары связанных индуктивностей приведена на рис. 2.44, б (другие варианты комплексных схем замеще­ния связанных индуктивностей будут рассмотрены в следующем под­параграфе). Если индуктивной связью охвачено п индуктивностей, то комплексные действующие значения напряжений на их зажимах оп­ределяются системой уравнений

Ox = Zu /j ± Zm 12 4 ± ± Zm in Л»;

U₂ — ± Zm21 ^I + Zi.2 /2 ± ••• +Z_M2n in,

0_n = ± z.v/ri 1 /1 ± Zmh.2 i-i'V...+Zl« i_n- Падения напряжения на сопротивлениях связи Zmh = Zmh берут со знаком плюс при согласном включении индуктивностей и со знаком минус — при встречном.

Система уравнений электрического равновесия цепи с взаимными индуктивностями так же, как и системы основных уравнений ранее рассмотренных цепей, не содержащих взаимных индуктивностей, фор­мируется из компонентных уравнений (уравнений ветвей), а также уравненнй баланса токов и напряжений, составленных на основании законов Кирхгофа. При произвольном внешнем воздействии соответст­вующие уравнения составляются для мгновенных значений токов и на­пряжений, при гармоническом воздействии — для их комплексных изо­бражений. Напомним, что вид и количество уравненнй, составляемых

на основании законов Кирхгофа, определяются только топологией цепи и не зависят от входящих в нее элементов. В связи с этим уравнения баланса токов и напряжений цепи, содержащей связанные индуктив­ности, имеют точно такой же вид, как и уравнения соответствующей це­пи в отсутствие связи между индуктивностями, т. е. при М —- 0.

• ••••

Пример 2.13. Составим основную систему уравнений электрического равнове­сия цепи, эквивалентная схема которой для мгновенных значений приведена на рис. 2.45, а.

На основании первого и второго законов Кирхгофа для цепи тжет быть со­ставлено три независимых уравнения

—‘i4 <2 i <s=0; ^uLi H ^UL2 i-u_C'-~^e>

^B*+^ML3-“c--“L2=--⁰- В сочетании с пятью компонентными уравнениями

Uff =■ Ri₃;

t

du

-M

^lL\'

dt

^uc~^uc (°)+ q ^hdt;

¹² dt ^+Ma dt

o

di₂

dU . dL ,, dU 1

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

получаем восемь уравнений для определения восьми неизвестных величин', ц; i_t\ ^lY> ^UR< ^ис> ^UL2> ^uL3-

Эквивалентная схема рассматриваемой цепи для комплексных токов и напря­жений изображена на рис. 2.45, б, а основная система уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме имеет следующий вид:

-h-'rh-rh -0; = /?/,;

0_u+U_L2+U_c^£-, U _с — /₂/(/шС);

Ur+Uu-Uc-U^O;

U_Li—jwL_i /j—/ю/И₁₂ /₂-|-/соЛ^/1₁з /₃;

UL2 = —/Ы/М₂1 /₁ + /^ш^2 + ^

= f(oM₃₁ l\ ; ju>M₃₂ /₂ + jwL₃ Iз

Выражая падения напряжений на всех элементах через соответствующие- токи, получаем систему из уравнений

—^i+^2 т- ^з =^0;

/ыА, /1 —j(nM|2 /2 /(o,Mj3 /д. до/М^j /j г /со/.2 ^2 г (/с*>С) ■= £;

/?/з+/й>М₃₁ /Н /®M_3S7₂ + /coL₃/₃—/₂/(/соС)Н /ш/М₂₁ >! — /ю1₂ /₂ — /соЛ1₂з /₃ = 0

для определения неизвестных токов /₃.

Эквивалентные преобразования участков цепей со связанными индуктивностями

Рассмотрим эквивалентные преобразования участков цепей, содер­жащих связанные индуктивности. В частности, покажем возможность замены их участками, не содержащими связанных индуктивностей. На - чнем с наиболее простых случаев, когда связанные индуктивности включены последовательно (рис. 2.46, а, б) или параллельна

В) а) о	41	X L*]	с и	«fcf Li "J	.j
о—		Lz *Ii2		*1	С

и_г

Рис. 2.46. Последовательное соединение связанных индуктивностей

(рис. 2.47, а, б). В этих случаях участок цепи, содержащий связанные индуктивности, имеет два внешних вывода, т. е. представляет собой двухполюсник. Определим его комплексное входное сопротивление и схему замещения.

При последовательном соединении связанных индуктивностей их токи равны, а напряжение на входе рассматриваемого участка цепи есть сумма напряжений на каждой из индуктивностей:

i =- h = ы = «1 + ы₂- (2.166)

^иэк

Рис. 2.47. Параллельное соединение связанных иидуктнвно-

стей

Используя выражения (2.166) и компонентные уравнения связан­ных индуктивностей (2.158), определяем зависимость между током и напряжением на зажимах рассматриваемого участка цепи:

di

dt

(2.167)

u = (L₁ + L₂±2M)~

dt

Как видно из выражения (2.167), участок цепи, содержащий после­довательно включенные связанные индуктивности, может быть заменен эквивалентной индуктивностью (см. рис. 2.46, в)

(2.168)

где знак плюс соответствует согласному включению, а минус — встречному. Таким образом, при согласном включении связанных ин­дуктивностей эквивалентная индуктивность получается больше, а при встречном — меньше, чем эквивалентная индуктивность участка цепи, содержащего две последовательно включенные несвязанные индуктив­ности.

На использовании выражения (2.168) основан простой метод измерения вза­имной индуктивности, в соответствии с которым сначала производят измерение эквивалентной индуктивности катушек при согласном L_aK. _Согл ⁼ Li + £2 Н” + 2М и встречном включении L_alt. _Встр — L\ L_t — 2М, а затем по формуле ^м = (^ЭК. согл — £эк. встр)/4 рассчитывают М.

При параллельном соединении связанных индуктивностей к их за­жимам прикладывается одинаковое напряжение и, а входной ток рас­сматриваемого участка цепи складывается из токов обеих индуктивно­стей:

(2.169)

и

и 1

U о

i 1 + h-

Используя (2.169) и компонентные уравнения связанных индуктив­ностей (2.158), составляем систему уравнений

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

i = ii -f- tj,

из решения которой находим зависимость между напряжением и током на зажимах рассматриваемого участка цепи:

di

di

IT

(2.170)

L_x-{ L₂ ^ 2M dt

L, L,—M^s

В соответствии с (2.170) участок цепи, представляющий собой две параллельно включенные связанные индуктивности, обладает эквива­лентной индуктивностью (рис. 2.47, в)

(2.171)

L_3K = (LjL, - М²)/(L, + L₂ =f 2M),

причем знак минус соответствует согласному включению, а знак плюс — встречному.

При Lj = L₂ — L выражение (2.171) приводится к виду

L_3K - L( 1 — ЛЛ,)/[2 (1 =F = £ 0 ± М/2, откуда следует, что lim L_3K = L при согласном и lint L_3K = 0 при

м

^км+^х

Рис. 2.48. Короткое замыкание одной из связанных индуктивностей

dt

^а)

находим L_x L_s

di

встречном включении индуктивностей.

При коротком замыкании одной из связанных индуктивностей, на- пример индуктивности L₂ (см. рис. 2.44, а), участок цепи, содержащий связанные индуктивности, также представляет собой двухполюсник, напряжение и ток на входе которого совпадают с напряжением и током на зажимах индуктивности L_t (рис. 2.48, а). Решая систему уравнений, описывающую процессы в

данном участке цепи

Lj ± М = ы;

dt dt

U ± М =0;

где Ltэ_к цепи.

Таким образом, все рассмотренные идеализированные двухполюс­ники, содержащие связанные индуктивности, при любом воздействии могут быть заменены одной индуктивностью L - L_aK. Комплексное со­противление этих двухполюсников имеет чисто реактивный характер: Z = j(o L_3K.

Найдем схему замещения участка цепи, содержащего две связанные индуктивности, включенные таким образом, что они имеют одну общую точку (рис. 2.49, а, б). Используя в качестве исходных компонентные уравнения связанных индуктивностей (2.158), добавим к первому из

dt ^м dt (2.172)

Af²)/L_a — эквивалентная индуктивность участка

-М² di

(LiL₂

I =и

dt

и

добавим и вычтем член М~: d/ Здесь, как и в полученных ранее выражениях, верхний знак соот­ветствует согласному, а нижний знак — встречному включению свя­занных индуктивностей. , Системе (2.173) может быть поставлена в соответствие эквивалент* ная схема участка цепи, не содержащая связанных индуктивностей (рис. 2.49, в). Анализ уравнений (2.173) и эквивалентной схемы пока­зывает, что только при согласном включении и достаточно малом коэф­фициенте связи (М < Lx, М С L2) все три индуктивности этой схемы положительны. При встречном включении или при согласном включе­нии при большом коэффициенте связи (М > Lj или М > L2) одна из dt dt dt После приведения подобных членов эти уравнения принимают вид AL ±М- d + dt din di i dt -h ±M^- =FM-^- . ± Af ы, *Ч А*		* 1 1
М Uz	иг и,	Y у2	и2и,	1±М
II’		1 1 *		1

^м i ' ^м i

а—*■ ^lZ I/ м—ч. ^ЬI

Uo

ц Lj + М i + М

Рис. 2.49. Две связанные индуктивности с общей точкой:

индуктивностей оказывается отрицательной. Очевидно, что такой схе­ме нельзя поставить в соответствие моделирующую цепь, состоящую из идеализированных элементов — индуктивностей. Эта схема являет­ся чисто расчетной: ее применение во многих случаях существенно уп­рощает анализ цепей со связанными индуктивностями

В общем случае, если рассматриваемый участок цепи содержит свя­занные индуктивности, не имеющие общих точек, его можно заменить участком цепи без взаимных индуктивностей, но с управляемыми ис­точниками (рис. 2.50, а и 2.51, а). В первом случае эквивалентная схема содержит источники напряжения, э.д.с. которых равна напряжению на ieK0T0p0M участке цепи; во втором — управляемые источники напря- кения, э.д.с. которых пропорциональна производным токов цепи.

• согласное включение; б —встречное включение;

в — эквивалентная схема без связан­ных индуктивностей

L₁^--hM-^- dt

M-^- ±M dt

dt

■L

_Z^-±M ² dt

dt

d ((| -J~ <2)

(2.173)

^а)

Рис. 2.50. Схемы замещения связанных индуктивностей с ис­точниками напряжения, управляемыми напряжением

Комплексные схемы замещения преобразованных цепей изображены на рис. 2.50, б и 2.51, б. В справедливости предлагаемых схем можно убе­диться, составив по ним систему уравнений электрического равновесия преобразованной цепи и приведя ее к виду (2.158).

Рис. 2.51. Схемы замещения связанных индуктивностей с источниками напряжения, управляемыми производными то­ков

Используя приемы, подобные рассмотренным, можно построить также ряд других схем замещения участков цепей со связанными ин­дуктивностями.

Вариометры с переменной взаимной индуктивностью

В различных радиотехнических устройствах широко используют катушки с переменной индуктивностью, называемые вариометрами. Индуктивность вариометра может изменяться различными способами, например путем изменения числа витков или путем перемещения магнитного нли немагнитного сердечника, однако наибольшее распространение получили вариометры с переменной взаим­ной индуктивностью.

Вариометр этого типа представляет собой две связанные индуктивные ка­тушки, намотанные на цилиндрические или сферические каркасы и расположен­ные одна внутри другой так, что внутренняя катушка (ротор) может вращаться относительно неподвижной наружной катушки (статора). Взаимная индуктив­ность между катушками изменяется при этом по косинусоидальному закону, при­нимая значения от М — М_тах при a — 0 (магнитные потоки ротора и статора совпадают по направлению) до М = 0 при а = 90° (магнитные потоки в центре ротора и статора перпендикулярны) и М = — Мтах при а = 180° (направления магнитных потоков ротора и статора противоположны).

Обмотки ротора и статора могут быть включены последовательно или парал­лельно, в ряде случаев применяются вариометры, у которых обмотка ротора за­корочена. Максимальные L_max и минимальные L_mщ значения индуктивности

вариометра, соответствующие этим вариантам соединения обмоток ротора и ста­тора, могут быть рассчитаны с помощью выражений (2.168), (2.171), и (2.172). Одним из основных параметров вариометра является коэффициент перекрытия по индуктивности kц — L_maxlLjnin- Коэффициент перекрытия определяется максимальным значением взаимной лндуктивности М_тях и увеличивается с рос­том коэффициента связи между обмотками.

Понятие о линейных трансформаторах

Трансформатором называется устройство для передачи энергии из одной части электрической цепи в другую, основанное на ис­пользовании явления взаимоиндукции. Трансформатор состоит из нескольких связанных индуктивных катушек (обмоток), которые для

Рис. 2.52. Эквивалентная cxi линейного трансформатора

повышения их индуктивности и уменьшения потоков рассеяния раз­мещены на общем ферромагнитном сердечнике. Одну из обмоток транс­форматора обычно подключают к ис­точнику энергии, а к остальным об­моткам подсоединяют различные на­грузки. Обмотка, подключенная к ис­точнику энергии, называется пер­вичной, остальные обмотки на­зываются вторичными.

В связи с тем что свойства магнитных материалов существенно за­висят от напряженности пронизывающих их магнитных полей и, сле­довательно, от создающих эти поля токов, трансформатор с ферромаг­нитным сердечником представляет собой в общем случае устройство с нелинейными характеристиками. Процессы в нем описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

В трансформаторе без ферромагнитного сердечника электрические процессы могут быть описаны линейными дифференциальными уравне­ниями, поэтому такой трансформатор называется линейным (рис. 2.52). Линейный двухобмоточный трансформатор можно рассмат­ривать как две связанные катушки с линейной индуктивностью. Со­противления Ri и R₂ учитывают потери энергии в обмотках трансфор­матора. При необходимости в эквивалентной схеме можно учесть так­же межвитковые и межобмоточные емкости, которые, как правило, не оказывают существенного влияния на работу трансформатора в рабо­чем диапазоне частот. Понятие «линейного трансформатора» оказывает­ся полезным не только при анализе процессов в трансформаторах без ферромагнитного сердечника. В ряде случаев, когда нелинейность маг­нитных материалов не оказывает существенного влияния на характе­ристики трансформатора с ферромагнитным сердечником, его прибли­женно рассматривают как линейный и представляют при анализе це­пей с помощью линейной схемы замещения.

Используя компонентные уравнения связанных индуктивностей (2.158), составим уравнения баланса напряжений идеализированной

Ui = /?i *1 + ^—'

^dt. ^dt . (2.174)

• «₂ = R₂ i_z -f- L₂ —*—M —— .

at at

Ограничивая рассмотрение случаем гармонического внешнего воз­действия, перейдем в (2.174) от мгновенных значений токов и напряже­ний к их комплексным изображениям:

О г = (Ry + jaLjU - /со/И/₂; (2.175)

• U₂= (R₂ -1 ja>L)l₂ — jwMl^

Система уравнений (2.175) при сделанных допущениях описывает соотношения между токами и напряжениями на зажимах трансформа­торов различных типов, которые можно приближенно считать линей­ными, и служит основой для анализа различных цепей с трансформа­торами при гармоническом внешнем воздействии.

Пусть в рассматриваемом линейном двухобмоточном трансформа­торе ток вторичной обмотки /_г = О (режим холостого хода на выходе). Как видно из выражений (2.175), ток первичной обмотки /_х в этом слу­чае не равен нулю:

h 1₇; _{= 0} = й/(*1 f/«oL0 = /_M. (2.176)

Ток /₁₀, потребляемый трансформатором от источника в режиме хо­лостого хода на выходе, называется током намагничива­ния. При заданной угловой частоте и конечной амплитуде напряже­ния первичной обмотки ток намагничивания уменьшается с ростом ин­дуктивности первичной обмотки L_x и обращается в нуль при L_y — оо.

Решим систему уравнений (2.175) относительно напряжения U₁ и тока Ii первичной обмотки:

jj Г fli+/e>£i | (fli + foli) № + /о>£_г)+й>^г м¹1 Q .

¹ [ /w/И ju,MZ_H J ²’ ₁₇₇^

f ^1/^! +^Н _f

I — ■ — 7

jo>M

Из выражений (2.177) видно, что напряжение и_у и ток /_х первичной обмотки линейного трансформатора пропорциональны соответствен­но напряжению U_а и току /₂ вторичной обмотки, причем коэффициенты пропорциональности в обоих случаях зависят от сопротивления нагруз- ки Z_H - U ₂// 2*

В теории цепей большое значение имеют понятия «совершенного» и «идеального» трансформатора.

Совершенным трансформатором называется идеализирован­ный четырех полюсный элемент, представляющий собой две связанные индуктивности с коэффициентом связи, равным единице. Из определе-

ни я следует, что в таком трансформаторе (рис. 2.53, а) отсутствуют по­токи рассеяния и не происходит запасания энергии в электрическом поле или преобразования электрической энергии и в другие виды энер­гии. Полагая в выражениях (2.177) R_y — R₂ = 0 и М = VLiL₂, полу­чаем уравнения, определяющие зависимости между токами и напряже­ниями обмоток совершенного трансформатора:

(2.178)

(7,=У L_yiU(]₂

Величина

(2.179)

n = V LJL_l = L_zlM = M/L_u

м-УЦ;

Ф 04

Рис. 2.53. Совершенный трансформатор (а) и его комплексная схема замеще­ния (б)

JU

Ф

SI

входящая в уравнения (2.178), получила название коэффициен­та трансформации. Подставляя в (2.179) выражения для индуктивностей катушек (2.155) и их взаимных индуктивностей

(2.156), находим, что коэффи-

ииент трансформации равен от­ношению числа витков вторич­ной обмотки N₂ к числу витков первичной обмотки /V_x:

_п ^2 Фд! / Н

NI Ф_iI/i_l ®21

/V,

(2.180)

(Напомним, что потоки рассеяния совершенного трансформатора равны нулю, т. е. <I>_S1 = Ф_в2 = 0.)

Используя выражения (2.176) и (2.179), преобразуем уравнения (2.178) к виду

(2.181)

10) t

Uy-Uz/n; — (ni₂ -+- /;

где Iю — UiHjaL^ — ток намагничивания совершенного трансформа­тора.

Согласно выражениям (2.181) отношение напряжения на вторичной обмотке совершенного трансформатора к напряжению на первичной обмотке равно коэффициенту трансформации и не зависит от сопро­тивления нагрузки. Выражениям (2.181) соответствует комплексная схема замещения совершенного трансформатора, приведенная на рис. 2.53, б.

Совершенный трансформатор, ток намагничивания которого равен нулю, называется идеальным. Из выражений (2.181) видно, что ток намагничивания совершенного трансформатора равен нулю толь-

копри£₁= оо.Подставляя в (2.181) /|_О = 0, получаем компонентные уравнения идеального трансформатора

(2.182)

О г - — U г, /,=я/₂.

Аналогичный вид будут иметь и соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений идеального трансформатора:

(2.183)

«!= — н₂; г, — ш₂.

п

Комплексная схема замещения идеального трансформатора изоб­ражена на рис. 2.54, а, схема замещения для мгновенных значений — на рис. 2.54, б.

12

h

h

02

-02 /о-

10-

V,

Y о

пи,

т

"г

)

02'

® O^nUi

г/, и,

-02' /'О-

a;

Рис. 2.54. Схемы замещения идеального трансформатора

Из компонентных уравнений (2.182) и (2.183) следует, что при лю­бом значении сопротивления нагрузки отношение напряжения вторич­ной обмотки к напряжению первичной обмотки идеального транс­форматора равно отношению токов первичной и вторичной обмоток:

* *

= /_х//₂=

(2.184)

п.

и₂/и₁ — 11 /^2 — Uz/Ui — Д/^2

В связи с тем что коэффициент трансформации п является действи­тельным числом, напряжение и ток первичной обмотки имеют такие же начальные и мгновенные фазы, как соответственно напряжение и ток вторичной обмотки, и отличаются от них только по амплитуде (дей­ствующему значению). Из выражений (2.184) следует, что мгновенная и комплексная мощности, потребляемые первичной обмоткой, равны мгновенной и комплексной мощностям, отдаваемым идеальным транс­форматором в нагрузку.

• * « *

Ui£j=U₂^2> Ui /i={/₂/₂.

Очевидно, что к.п.д. идеального трансформатора равен единице.

Если к зажимам 2 — 2' идеального трансформатора подключено сопротивление нагрузки Z,, =- UJi₂, то его входное сопротивление со стороны зажимов 1 — Г

Z— U_l/i₁ = U₂/(n² i₂) =Z_p/n². (2.185)

Таким образом, входное сопротивление идеального трансформатора имеет такой же характер, как и сопротивление нагрузки, и отличается от него по модулю в п² раз. Способность трансформаторов преобразо­

вывать «модуль» сопротивления широко используется в радиоэлектрон­ных устройствах для согласования сопротивления источника энергии с нагрузкой.

В отличие от идеального в реальном трансформаторе происходят потери энергии, он характеризуется в ряде случаев значительными пара­зитными емкостями, индуктивность его обмоток имеет конечное значе­ние, а потоки рассеяния не равны нулю. Как правило, при разработке конструкции трансформатора предпринимается ряд мер, направленных на приближение его свойств к свойствам идеального трансформатора. С этой целью, в частности, обмотки трансформатора размещают на фер­ромагнитном сердечнике с высоким значением эффективной магнитной проницаемости. Применение сердечника увеличивает индуктивность обмоток, а также коэффициент связи и приводит к снижению тока на­магничивания. Рациональным выбором материалов и конструкции трансформатора добиваются также уменьшения межвитковых и межоб- моточных емкостей и снижения всех видов потерь энергии. В зависимо­сти от степени приближения свойств реального трансформатора к свой­ствам идеального при анализе цепей его можно представлять одной из эквивалентных схем, приведенных на рис. 2.52—2.54, или привле­кать более сложные, например нелинейные, схемы замещения.

• ••••

Пример 2.14. Рассмотрим применение трансформаторов для согласования источника энергии с нагрузкой. Пусть оптимальное (по какому-либо критерию) сопротивление нагрузки источника энергии равно Ян opt- Сопротивление же на­грузки, например динамического громкоговорителя, равно Ян и не подлежит регу­лировке. Если эту нагрузку подключить к источнику энергии через согласующий трансформатор с коэффициентом трансформации п = ~\/Я_а/Ян opt. свойства которого близки к свойствам идеального трансформатора, то в соответствии с (2.185) входное сопротивление трансформатора Z — /?_н/п² = R_{H 0}pt и источ­ник энергии окажется нагруженным на сопротивление, равное оптимальному.

Частотные ' характеристики простейших электрических цепей