§ 6.4. Операторные характеристики в.06,96?

ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ • ^ ~ , 9 - IS Zac)

Реакция цепи на экспоненциальное воздействие

Выясним, какой физический смысл имеет оператор р₇ входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внеш­нее воздействие

а (/) =_Ле- , (6.72)

где Лив— некоторые комплексные числа.

Коэффициент А = Ае'^л имеет размерность внешнего воздействия и называется обобщенной комплексной амплиту­дой, величина s = а + /<о — имеет размерность с^-1 и называется обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздей­ствия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при Im А — Ims — 0 выражение (6.72) описывает экспоненциально затухающее (ст< 0), экспоненциально нарастающее (ст]> 0) или неиз­менное (а = 0) внешнее воздействие. Сумма экспоненциальных воз­действий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-со­пряженными частотами представляет собой гармоническое колебание

а (/) = Ле- =Ле*1е'(*⁺*'»> + е-'(“'⁺*^л>1 =

= 24e^a*cos((D/-|-i|M), (6.73)

амплитуда которого нарастает (а> 0), затухает (а < 0) или неизмен­на во времени (а = 0). Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты s = а + /о> можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференциро- f вание экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция ли- . нейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты s является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону

(6.74)

(6.75)

(6.76)

(6.77)

и — Ue- .

В этом случае ток сопротивления

in — R^_1 Ur = Ue^s- /R,

ток емкости

i_c = С — sCUе- , dt — —

и ток индуктивности

t

t't=— Г u_Ldt=—Ue* .

L J sL

— OO —

Входным сопротивлением Z (s) пассивного линейного двухполюсни-' -; ка при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Z (s) = u/i. (6.78)

Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротив­ления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Z_r(s)=R; Z_c(s) = l/(sC); Z_l(s) = sL. (6.79)

Полагая в выражениях (6.79) s = р, получаем рассмотренные ра­нее выражения для операторных входных сопротивлений идеализиро­ванных пассивных элементов, а полагая s = /ю — выражения для ком­плексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоничес­ком внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивле­ния идеализированных пассивных элементов при гармоническом внеш­нем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же эле­ментов при экспоненциальном внешнем воздействии а (t) = Aef**, а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов —

входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внеш­нем воздействии

а (0 = Ле* (6.80)

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным ли­нейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или на­пряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида

80. численно равно отношению операторных изображений соответ­ствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую не­зависимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных v — v' и пара выходных k — k' зажимов.

Операторной, или обобщенной, частотной ха­рактеристикой Hkv (р) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи y_k — у_к (t) к операторному изображению внешнего воздействия x_v — x_v (t) при нулевых началь­ных условиях:

Нь, (Р) = Ук (P)!X_V (р), (6.81)

где У_h (р) = y_h (0; X_v (р) = x_v (0.

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линей­ной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, числен­но равно отношению операторных изображений соответствующих ве­личин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что опера­торная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида

. Уk

Hkv{p)

x_v = Ху еР⁽

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплекс­ной частотной характеристике #*_v (/ю) достаточно в выражении (6.81) заменить р на /со. Следовательно, комплексную частотную характерис­тику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Re (р) = а = 0.

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная ха­рактеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цеци и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для оператор-

(6.80)

ных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.71) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, отераторные характеристики описывают свой- ства линейных цепей при произвольных внешних^воздействиях.

Как и комплексные частотные характеристики, операторные харак­теристики цепи делятся на входные и передаточные,

причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует

операторная. В зависимости оттого, какая величина выступаете каче­стве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качест­ве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

Zw {р) = U_v (p)U_v (р)- (6.82)

операторную входную проводимость

Kvv ip) = Iv (pVU_v (p); (6.83)

операторные коэффициенты передачи по

напряжению

Kkv (р) = U_k (p)lU_v (р) (6.84)

и току

G/_{V (р) = I_k (p)//_v (РУ, (6.85)

операторное передаточное сопротивле­ние

(р) ^ Uk (p)//_v (р) (6.86)

и операторную передаточную проводимость

Пу (Р) = h {p)l U_v (р). (6.87)

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току явля­ются безразмерными величинами, операторные входное и передаточ­ное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.

Определение операторных характеристик

Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствую­щем аналитическом выражении заменить /м на р. В общем случае выра­жения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, мо­гут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравне­ний цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нуле­вых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v'. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения e_v (0 и постро­им операторную схему замещения цепи при нулевых начальных усло­виях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник e_v (t) == Е_v (р), явилась главной ветвью ■v-ro контура, составим систему контурных уравнений цепи в оператор­ной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток v-й ветви, совпадающий с током v-ro контура:

^/^)⁼⁼-Т7Т-^)- (⁶-⁸⁸)

Д(р)

Здесь А (р) — определитель системы контурных уравнений, состав­ленных в операторной форме; Aw (р) — алгебраическое дополнение элемента Z_vv (р)-

Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопро­тивление Z_vv (р) и операторную входную проводимость цепи Y_w (р) со стороны зажимов v — v':

Z_vv (р) = E_v (p)!Iy (p) = A (p)lA_vv (p)\

УVV (p) ~ 1/Zw (/?) ⁼ Avv (/?)/Л (p)-

Аналогичным образом можно найти и передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток

I_k (р) = A_v* О») £v о?)/А (р) (6.89)

и напряжение

(р) = Z_ft (р) I_k (р) = A_v* (р) Z_k (р) Е_х (р)/А (р) (6.90)

ветви, содержащей сопротивление Z_h (р) и являющейся главной вет­вью 6-го контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

/C*v (р) = ^uk (p)/E_v (р) = A_v* (р) Z_k (р)/А (р), операторный коэффициент передачи по току

G_kv (р) = h (p)//v (р) = Av* (p)/Aw (р), операторную передаточную проводимость

V*v (р) = (p)/^v (р) = A_v* (р)/А (р)

и операторное передаточное сопротивление

Z^v (р) ⁼ Uk (p)//v (л) ~ A_v/e (p)Zft (p)/A_vv (р).

В связи с тем что определитель А (р) и алгебраические дополнения A_vv (р), (р) представляют собой полиномы от собственных и вза­

имных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а со­противления контуров являются рациональными функциями р с веще­ственными коэффициентами, любая операторная характеристика ли­нейной электрической цепи H_kv (р), не содержащей независимых источ­ников энергии, также является рациональной функцией р с веществен­ными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отноше­ния двух полиномов

H_kv(p)=JL^L ₌ - °nPⁿ + an-₁p'^l~¹ + --.-+aiP + ao _gl)

^ (P) b_m p^m b_m—i p^{m 1} + ... +&iP + bo

Здесь a_it b_t — вещественные коэффициенты, значения которых опре деляются параметрами идеализированных пассивных элементов и уп­равляемых источников.

Напомним, что значения аргумента p_oi, при которых N (р) = О, до ф) ф 0, называются н у л я м и, а значения аргумента p_xi, при ко­торых М (р) = О, N (р)ф 0, — полюсами функции Я^ (р). Решая уравнения N (р) = 0; М (р) = 0 и разлагая полиномы N (р) и М (р) ^на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

Я*,(р)=К. (P-Poi)(P-ga^---.(Р-Роп) . _{(6 92)}

(Р—Рхг) (Р—Рхг). - - (Р—Рхт)

Здесь К — а_п/Ь_т — вещественное число, называемое масштаб­ным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции (р)

определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэф­фициента /С. Зная расположение нулей и полюсов операторной характе­ристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить пол­ную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до по­стоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты р = а + /со называется диаграм­мой нулей и полюсов или полюсно -нулевой диаграммой функции. При прстроении полюсно-нулевых диа­грамм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответст­венно /со и а, нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

• ••••

Пример 6.5. Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем опе­раторное входное сопротивление ■2ц х (р) со стороны зажимов 1—Г и оператор­ный коэффициент передачи по напряжению Кцх(р) от зажимов 1—1' к зажимам 2—2' в режиме холостого хода на зажимах 2■—2'. Построим диаграммы нулей и полюсов функций Z_nx (р) и K₂ix (р).

р ч

_fo^ ^ _f \^(Р)₀п

J(0		j(o
P0=-VL	0 6	Рх1~ R/L	РоГ° 6

^г(Р)

о ₂'

^а)

5)

Рис. 6.12. К примеру 6.5

Ранее были получены выраокения для комплексного входного сопротивления (3.12) и комплексного коэффициента передачи (3.16) данной цепи

²11X (/w) = R + /0)1; К₂₁х (/«) = j<aL/(R + /<oL).

Заменяя в этих выражениях /<о на р, находим операторное входное сопротив­ление Z_nx (р) и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

^пх (Р) — R + pL = L (р-\-R/L)\

'R pL Р RIL

PL Р

Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмо­трении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно- ну левые диаграммы функций Z_llx(p) и К₂гх (р) изображены на рис. 6.12, б,в соответственно. Функция Z_11X (р) имеет один нуль р_ог — — р/^ функция К21х (р) имеет один нуль р₀₁ = 0 и один полюс р_Х1 = — R/L.

• ••••

Пример 6.6. Найдем операторное входное сопротивление Z_ux (р) последо­вательного колебательного контура (см. рис. 3.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции Z_llx (р).

J<0

j а)		jo»		Poi f	<о0
0_1__0 s		-8- Г\ ч		I-S
Рог Ро,	Р*Г° 6	РоГ-Рп	'РхГ° 6	—| ) \ |	'рх?0 6
^ \ ч	'	в)		р i ^ «я	-СОд

Рис. 6.13. К примеру 6.6

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного кон­тура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов

1 _r p²+flp/L+l/(LC)

Zux (P) — R-rpL-\-pg—L ^

Используя введенные ранее обозначения б R/(2L) и со„ = И~\/LC, запи­шем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде

р²+2бр + м§ _{= L} (Р—Рщ) (р—р_ог)

(p) = L-

Р—Pxi

В зависимости от соотношения между величинами 6 и <о₀ операторное входное сопротивление может иметь два различных вещественных нуля

Рои 02= —S ± У б² —0)§ , два одинаковых вещественных нуля

Рт. ~ Рог ⁼ ' ®

или два комплексно-сопряженных нуля

Р01, 02⁼ ® ^ /^ысв ■

Во всех случаях функция Z_ux (р) имеет один полюс р_Х1 = 0. f

Диаграммы нулей и полюсов функции Z_x IX (р) для б > ш₀₎ б = &>„ и 6 < «о изображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функ­ции Z_11X (р) являются полюсами функции Y_11Х (р), а полюсы Z_11X (р) — ну - тми К_их (р).

Из примеров 6.5 и 6.6 видно, что нули операторного входного со­противления цепи (полюсы операторной входной проводимости) сов­падают с корнями характеристического уравнения, определяющего ха­рактер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма об­щий характер и позволяет находить корни характеристического урав­нения по выражению для входного сопротивления (входной проводи­мости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.