при

Производная функция х_г (t) по времени (рис. 6.17, б) имеет вид пря­моугольного импульса длительностью At и высотой 1/Лt:

dx_x

dt

1 /At при t₀ ^ t < t₀ 4- At; О при t^t₀ + At.

При At —0 функция Xi (/) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция dxjdt — в 6-функцию:

1 (t — /₀) = lim xj/);

Af-vO

® У—^о) — 1>т ,

д<->-0 dt

откуда непосредственно следует, что

6('-Л)=~1 (*-/„).

at

l(f-*o)= \ b(t-t₀)dL

— ОО

при выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации t₀ удобно расчленять на три различных момента: te-—момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации,

г'

s)

Рис. 6.17. К определению связи между единичными функ­циями

t_v — сооственно момент коммутации и /₀₊—момент времени, следую­щий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на

и.

(6.101)

В общем случае и

1 при /₀ € 41;

4J.

1 0 при t_e^[t_u

Произведение произвольной ограниченной функции времени / (О

на 6 (t — t_a)

(6.103)

f(t)8(t-t_t) = f(t₀)8(t-t₀).

f(t₀) при to 6 lt_vt₂]; _{(6 Ю4)} 0 при *0^1*!, *2]•

Таким образом, с помощью б-функции можно выделять значения функции f (t) в произвольные моменты времени i₀. Эту особенность 6- функции обычно называют фильтрующим свойством.

оо

оо

L [1 (f—f₀)] = J 1 (t -t₀)e~p* dt= J e-ptdt^e-pt'/p;

0

oo *

L[6(f—6(f—f₀je-p‘<tt = e-**. (6.105)

0

При t_n~ 0 операторные изображения единичных функций имеют простой вид:

(6.106)

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую незави­симых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой неединичный скачок х (t) -- х¹ (t) — X X X 1(/— t₀), а реакция цепи на это воздействие при нулевых началь­ных условиях у (t) = у¹ (i).

Переходной характеристикой h¹ (t — t₀) линей­ной цени, не содержащей независимых источников энергии, называет­ся отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных ус­ловиях:

Из выражения (6.107) видно, что h¹ (t— t₀) = у¹ (t), если X =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна ре­акции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерно­сти отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо­сти или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно корот­кого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади S*:

х (t) = х^в (t) = St 6 (t— t₀).

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим у (t) = у⁶ (t).

Импульсной характеристикой h^& (t — t₀) линей­ной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называет­ся отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно корот­кого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

/I⁶ (t — t₀) = у⁶ (t)/S₆. (6.108)

Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика це­пи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (5б = 1), а размерность импульсной характеристики равна отноше­нию размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая м или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время , называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) ~ частотными характеристиками, то переходная и импульсная характе­ристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристике цепи H_kv (р) можно поста­вить в соответствие переходную h\_v (t — t₀) и импульсную h£_v (t — — t₀) характеристики. Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем h¹ (t—t_n)= Y¹ (p)/X; h⁶ (t - U) = У» (p)!S₆.

Здесь Y¹ (p) = y¹ (f); Y⁶ (p) == y^& (t) — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия х¹ (t) и х⁶ (t) соответственно. Вы­ражая Y¹ (р) и Y⁶ (р) через операторные изображения внешних воз­действий X¹ (р) = Хе~^р1° !р = х* (t); X⁶ (р) — Ss e~^pt° = х⁶ (t), получаем

й¹ (* ~Q = H ip) X¹ (p)IX = H (p) en*Ip-, h*(t—t₀) = H (p)X* (p)/S₆ - H(p)t-(6.109)

При /₀ = 0 операторные изображения переходной и импульсной ха­рактеристик имеют простой вид

h> (0 = Н (р)!р- h*> (0 = Н(р). (6.110)

Таким образом, импульсная характеристика цепи h*_v (/) — это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой опе­раторную характеристику цепи Нь, (р), а переходная характеристика цепи НЬ, (t) — функция, операторное изображение которой равно Hkv (р)/р- Выражения (6.109), (6.110) устанавливают связь между час­тотными и временнйми характеристиками цепи. Зная, например, им­пульсную характеристику (t), можно с помощью прямого преобра­зования Лапласа найти соответствующую операторную характеристи­ку цепи

оо

Hkv (р) = § e~^vihk_V(t)dt,

о

а по известной операторной характеристике (р) с помощью обрат­ного преобразования Лапласа определить импульсную характеристи­ку цепи

о₀+/«

(0 = —~ Г ^{еР< н}к\- (р) dp.

2я / J

Оо —/о»

Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характе­ристиками

(*_*„). (6.1 Ц)

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой про­изводной переходной характеристики по времени. В связи с тем что переходная характеристика цепи h¹ (t— t₀) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, прило­женного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции h¹ (t—■ t₀) при t<.t₀ равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход­ную характеристику цепи следует записывать как h¹ (t— t₀)-1 (t —

— t₀), а не h,¹ (t — t₀). Заменяя в выражении (6.111) h¹ (t — t₀) на t₀)- 1 (t— t₀) и используя соотношение (6.103), получаем

/i«(/~g = ^[fti(f_g.l(f_g] = l(f_-f₀) ^Х /Ь.

! х -Jfh¹ it -g + h¹ (t-g 6 (f _g = l (t - g h¹ (/_g +

+ [/i¹(#-gb-*.6(f-g. (6.112)

Выражение (6.112) известно под названием формулы обоб­щенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t>

t„, а второе слагаемое содержит произведение 6-функции на значе-

ние переходной характеристики в точке t = t₀. Если при t = t₀ функ­ция h¹ (t — t₀) изменяется скачкообразно, то импульсная характерис­тика цепи содержит S-функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t — t₀. Если функция h¹ (t — t₀) не претерпевает разрыва при t = i₀, т. е. значение переходной характе­ристики в точке t = t_e равно нулю, то выражение для обобщенной про­изводной совпадает с выражением для обычной производной.

Определение временных характеристик линейных цепей

Для определения переходных (импульсных) характеристик линей­ной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные про­цессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единич­ного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. На практике для нахождения времен­ных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь меж­ду частотными и временными характеристиками. Определение времен* ных характеристик в этом случае начинается с составления оператор­ной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику Hk_V (Р). соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь Ху (t)~ реакция цепи уk (t). Зная операторную характеристику цепи и приме­няя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

При качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздей­ствие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при t£ Н₀-. А>+ (цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей. прк этом сканком.цчмрндкп-ся на значение, соответствующее посту­пившей в цепь энергии. На втором этапе (при t > t₀₊) действие прило­женного к цепн внешнего воздействия закончилось (при этом соответст­вующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, проте­кающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на пер­вой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная характе-1 ристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного им-С пульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рас­сматриваемой цепи. Следовательно, при переходе цепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процес- саТШ^-Вторсш~^ выполняются.

• ••••

Пример 6.7. Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимая 2 —2' Внешнее воздействие на цепь — напряжение на зажимах 1 —Г х (t) ~~ ^и1> реакция цепи — напряжение на зажимах 2—2' у (t) — и₂.

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая указанной паре: внешнее воздействие на цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.5'.

P + RIL

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной харак­теристик цепи имеют вид

■ ^Н (Р) ¹ .

p-\-R!L

h⁶ (0 = я (Р)

-л—1-¹.

р-\- RlL L р-\- R/L

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), переходим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.18, а, б):

Л¹ (t)=e~^Rt/L\ Л^б (*) -6 (t)—R e~^Ri/L/L. -

Заменяя в полученных выражениях t на t — находим временные характе­ристики цепи при t_a Ф О:

/,1 (t—t₀)=z-^R (f-*-)/²-; h^b (/ — f₀) = 6 (/-f,)—Re~^R{t~^U)/L/L.

Отметим, что выражение для импульсной характеристики рассматривае­мой цепи h® (t) могло быть получено и другим путем с помощью формулы (6.112), примененной к выражению для переходной характеристики цепи h^lt.

ствии на цепь единичного скачка напряШния е (t) — 1 (t), В, и нулевых началь­ных условиях. В начальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t t₀- О напряжение на вы­ходе цепи равно напрязаению на зажимах 1—Г: и₂|*₌₀ ~ “il*=o ~ 1

С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t оо. Все это объясняет, почему переходная характеристика начи­нается от значения Л¹ (0) — 1 и стремится к нулю при t -*■ то.

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах ^-2 при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения е (() =

При t 6 ]0_, 0+[ все входное напряжение оказывается приложенным к ин­дуктивности, и ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до

При t > 0+ источник напряжения может быть заменен короткозамыкающей перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от i_L (0+) до нуля. Напряжение на индуктивности равно напряэюению на сопротивлении R, поэтому при t > 0+ выходное напряжение цепи изменяется от и₂ (0+) = —Ri_L (0+) = = — RIL до нуля.

— 00

§ 6.6. Применение принципа наложения

ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Определение реакции цепи на произвольное внешнее

воздействие

Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линей­ных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь х = х (t) в этом случае представляют в виде линей­ной комбинации однотипных элементарных составляющих Xk (t):

*(о=2«¹л(о.

k

а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбина­ции частичных реакций i(t) на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:

В качестве элементарных составляющих x_h (t) можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотрен­ных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили эле­ментарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции вре­мени, единичного скачка или единичного импульса.

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основан­ный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бес­конечной суммы гармонических функций времени, получил название -спектрального**.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее

воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не со­держащую независимых источников энергии, переходная характерис­тика которой h,¹ (t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь зада-

ется в виде произвольной функции х—х (t), равной нулю при t<. < t₀ и непрерывной при всех /, за исключением точки t= t_a, где х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.19). Функцию х (t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбина- ции единичных скачков, смещенных ^

Рнс. 6.19. Представление про­извольного внешнего воздейст­вия в виде суммы неединичных скачков

х (9 « * (t₀) 1 (t—t₀) -г-2Л* Ы • 1 (1

к

Ч)- (6.113)

Здесь х (t₀) — высота начального скач-

dx I

ка функции х (0; Д* (т_А) « Дт^ I _<=т^ —

высота скачка, подаваемого в момент времени t = т_й (на рис. 6.19 этот ска­чок заштрихован).

В соответствии с определением переходной характеристики (6.107) реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в мо­мент времени t = т_Л, равна произведению высоты скачка на переход­ную характеристику цепи h ¹ (t — т_Л). Следовательно,реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6.113), рав­на сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики

h¹#—т_й)Дт. (6.114)

<=т,

Очевидно, что точность представления входного воздействия в ви­де суммы неединичных скачков, как и точность представления реак­ции цепи в вид^(6.114), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Дт. При Дт 0 суммирование заменяется интегрированием:

L

y(f)=x(t₀)hHt-t₀)+ ^*z£Lh'(t-T)dx. (6.115)

Выражение (6.115) известно под названием интеграла Дю- амеля (интеграла наложения). Используя это выраже­ние, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздей­ствие х = х (9 в любой момент времени t после коммутации. Интегри­рование в (6.115) осуществляется на промежутке t₀<.T<.t, причем выражения для х (т) и h¹ (t — т) получаются из выражений для х (t) и h¹ (t) путем замены t на т и t — т соответственно.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на за­данное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описы­вается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить

интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х — х (t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции х = х (t) в точках разрыва.

• ••••

Пример 6.8. Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое функ­цией х ~ х (t) вида (рис. 6.20)

О при t < 0; x_l (t) при 0 t < /_х;

х It) = '

х_г (0 при t_t < t < t₂;

О при / > t₂.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами не­прерывности функции X — X (t).

При t < 0 реакция цепи у — у (t) тождественно равна нулю (реакция це­пи не молсет опережать по времени внешнее воздействие на цепь).

На участке 0 <С t <. функция х — х (t) непрерывна, поэтому реакция це­пи находится непосредственно с помощью выражения (6.115)

t

Г¹ dx (т}

у (t) = _Xl (0) Л¹ (0+J Л¹ (t-Х) dx.

о

При t_x < t < t₂ интервал интегрирования ]0, /[ содержит одну точку раз­рыва функции х (t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка

jO, f_t[, ]t_lt /[ и учитывая реакцию цепи на воз­действие скачка функции х (t) в точке t — t_lt получаем

Г* /|у [ т\

у (t) = _Xl (0) *1 (9 + J —-Ш- *1 (f-т) dx+ о

+ 1*2 Л¹ (t~h) +

+ f ^d*² — h\t-x) dx.

J dr U

Рис. 6.20. К примеру 6.8

tl

у (t)~_Xl (0) Л¹ (0-1- f • ^dXlJ— Л¹ (f-т) Л + [л-₂ ft)-* rt)] ft¹ (<-*!)+

• ••••

г,

О при t < О;

«1 (0 =

О при t_x.

-п

Переходная характеристика данной цепи в рассматриваемом включении была определена в примере 6.7:

hi (t)=e~^Rt/L.

При t < О напряжение на зажимах 2—2' тождественно равно нулю.

При О < t < t_x

f i

«. (0 = «1 (О) Л¹ (О + j -^Uj~- ■ hi (t—x) di—U e~^RtIL +

U ae~^RtlL

При t>tx

<4 (t) dr

h> (f—t) dr—(^) (/—^) = ие~^м'¹ +

U ae R^{I^L

+ —1 — [_e<“+W*-> ^ i] fy _e^a<1 e~^R —<i»/b =

a+tf/L

t/

cc -f- RiL L

Определение реакции цепи на произвольное внешнее 91>

воздействие по ее импульсной характеристике г9^

Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, им­пульсная характеристика Л⁶ (/— Q которой известна, описывается произвольной функцией х = x(t), равной нулю при t<t₀ и непрерыв­ной при всех t, за исключением точки t = f₀, где функция х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функция х (/) может быть прибли­женно представлена в виде суммы импульсов x_k (t) длительностью Ат, сдвинутых один относительно другого на Ат:

(6.116)

Рассматривая элементарный импульс x_h (t) (на рис. 6.21 заштрихован) как раз­ность двух неединичных скачков х (х_к). сдвинутых по времени на Ат, выражение

116. можно представить в форме

Рис. 6.21. Представление произвольного внешнего воздействия в виде суммы импульсов

V с 1 it-Xk)~ 1 (t-x_k-Ax)

= Yx ■ ^(6Л17)

где S_k = x (r_h) Ат — площадь элементар­ного импульса x_h it).

Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по вре­мени Ат.

Учитывая, что

lim ¹ (*~^Tfe)-' (*-**.-^Дт> = 6it -т_й),

Дт-».о Ат

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

*(0 ~ в (*—^ть)- (6.118)

k

В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи y_k (t) на воздействие одиночного импульса x_k — S_k X Хб (t — x_h) равна произведению площади импульса S_h на импульсную характеристику цепи h⁶ it — x_h):

Ун (0 = S_kh⁶ (t— x_h).

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов S_k на соответствующие им­пульсные характеристики й® (t—т,,):

у it) да 2 S_h h^& it —x_h) = 2 * (т„) h⁶ (t—x_h) At.

k k

Устремляя Ат к нулю и переходя от суммирования к интегриро­ванию, получаем окончательно

<

y(t)— | х (т) h⁶ it —т) dr. (6.119)

Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи ин­теграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотноше­ния между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции це-

и и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается сочно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х (Q.

*'•3, О 4, *>,9

• ••••

Пример 6.10. Зная импульсную характеристику цепи h? (t— t_B), найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 6.8.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервала­ми непрерывности функции х = х (t) и, используя выражение (6.119), определя­ем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:

при t < 0; При 0 <

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

• ••••

Пример 6.11. Используя данные примеров 6.7 и 6.9, найдем реакцию цепи на заданное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

К⁶ (0 = S (i)—Re-^Rt/L/L.

Разбиваем ось времени на три интервала в соответствии с интервалами не­прерывности функции х = х (t). При f < 0 напряжение на зажимах 2—2' тождественно равно нулю.

На участке ]0, функция(/) не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2—2' находится непосредственно с помощью выражения (6.119):

j dx =

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

выполняя преобразования, получаем выражение для напряжения на зажимах ^г~~2' при 0 < i < t_x:

Т'-""I

При t > fi интервал интегрирования содержит точку разрыва функции и, (t). Разбивая интервал интегрирования ]0, /[ на два промежутка ]0, ^[,

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

о

Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции рассматривае­мой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характерис­тики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с ис­пользованием переходной характеристики цепи (пример 6.9).

Функция / (i), определяемая соотношением

t

f( 0=J

о

называется сверткой функций ^ (/) и /₅ (t). Используя из­вестное из математики [7] свойство свертки двух функций

t t

J ft (t) h (t— 0 dx = j* /i (/—T) f₂ (t) dx,

о 0

из выражений (6.115) и (6.119) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля

t

y{t)=x{t₀)V(t-t₀)+ V(x)dT

J ^d ('—^т)

t й

и

t

у (t) — \x(t—x)h⁶(x)dx.

to

Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле получаемых результатов, поэтому выбор того или иного вы­ражения определяется только удобством вычислений и не носит прин­ципиального характера. П’

Методы анализа цепей, ориентированные на применение ЭВМ

§ 7.1. Задача машинного анализа цепей

Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей

В соответствии с основным методом теории цепей анализ вклю­чает в себя следующие основные этапы:

1. переход от принципиальной электрической схемы цепи к ее эквивалентной схеме;

2. составление уравнений электрического равновесия;

3. решение уравнений электрического равновесия и представление полученных результатов.

На первом этапе анализа каждый реальный элемент электрической цепи заменяется его упрощенной моделью, составленной только из идеализированных пассивных и активных элементов. На втором эта­пе выбирается система независимых переменных, характеризующая процессы в рассматриваемой цепи, и составляется система уравнений электрического равновесия относительно этих переменных. На тре­тьем этапе анализа решается система уравнений электрического рав­новесия и определяется искомая реакция цепи на заданное воздейст­вие или соотношения, связывающие между собой реакцию цепи и внешнее воздействие.

В течение длительного времени различные средства вычислитель­ной техники, в том числе и электронные вычислительные машины (ЭВМ), применялись только для выполнения третьего из перечислен­ных этапов. Такое использование ЭВМ было неэффективным, так как требовало большого объема подготовительных работ, выполняемых вручную. Очевидно, что применение ЭВМ для решения системы урав­нений электрического равновесия не носит принципиального характе­ра, так как для этой цели можно использовать и другие средства вы­числений, включая арифмометры, счетные линейки и инженерные калькуляторы.

Характерной особенностью современного уровня развития методов анализа цепей является широкое применение ЭВМ не только для ре­шения уравнений электрического равновесия, но и для формирования этих уравнений по заданной эквивалентной схеме цепи или для сос­тавления эквивалентной схемы цепи и соответствующих уравнений

электрического равновесия по заданной принципиальной электриче­ской схеме цепи. Заметим, что использование ЭВМ для построения эквивалентной схемы цепи и формирования системы уравнений элек­трического равновесия носит принципиальный характер, так как эти этапы не могут быть выполнены с помощью других средств вычисли­тельной техники. Современные методы анализа цепей, основанные на применении ЭВМ для комплексного выполнения всех трех (или хо­тя бы двух последних) этапов анализа, получили название методов машинного (автоматизированного) анализа це­пей. Методы анализа цепей, в которых формирование уравнений электрического равновесия производится вручную (независимо от того, применяют или не применяют ЭВМ для решения уравнений элек­трического равновесия), получили название ручных методов анализа.

Автоматизация методов анализа электрических цепей позволяет не только значительно сократить время анализа, но и существенно по­высить его точность. Решение ряда задач анализа, связанных с проекти­рованием современной аппаратуры на больших интегральных микро­схемах, каждая из которых может насчитывать несколько тысяч эле­ментов, вообще немыслимо без применения автоматизированных мето­дов анализа. Широкое применение ЭВМ для анализа цепей оказало существенное влияние и на развитие теории цепей, в частности сти­мулировало разработку специальных методов анализа, ориентиро­ванных на использование ЭВМ.

Общие представления о программах машинного анализа цепей

Разработанные программы машинного анализа цепей условно подразделяют на две большие группы: программы общего назначения, предназначенные для решения широкого круга задач анализа цепей различного типа, и специализированные программы, ориентированные на решение отдельных частных задач анализа, таких, как исследова­ние временных или частотных характеристик линейных цепей, нахож дение рабочих точек нелинейных элементов, определение чувствитель ности цепи к изменению параметров элементов и т. п. Независимо о; назначения каждая программа автоматизированного анализа состоит из нескольких основных блоков, соответствующих основным этапам анализа цепей: блок подготовки исходных данных, блок формирова­ния уравнений электрического равновесия, блок решения уравнений электрического равновесия, блок представления результатов анали­за.

С помощью первого блока на этапе подготовки исходных данных в ЭВМ вводят информацию о схеме исследуемой цепи, параметрах ее элементов, формулируют конкретную задачу анализа и указывают способ представления результатов. В наиболее развитых программах анализа цепей в ЭВМ вводят составленный определенным образом список элементов принципиальной электрической схемы рассматривае мой цепи с указанием типов элементов, их параметров и номеров уз лов, к которым подключены выводы элементов. Переход от принци пиальной схемы цепи к ее схеме замещения в программах такого типа осуществляется автоматически, с помощью имеющейся в программе библиотеки моделей (схем замещения) всех элементов цепи. При ис­пользовании программ анализа цепей более низкого уровня требует­ся предварительно вручную построить эквивалентную схему цепи. В этом случае в ЭВМ вводят список ветвей идеализированной цепи с указанием характера ветви, ее параметров и ориентации, определяе­мой порядком перечисления номеров узлов, к которым подключена данная ветвь.

Важнейшим этапом машинного анализа цепей, который наиболее трудно поддается автоматизации, является формирование уравнений электрического равновесия. Рассмотренные ранее алгоритмы состав­ления этих уравнений носят описательный характер, недостаточно формализованы и непригодны для непосредственного применения в программах машинного анализа.

Уравнения электрического равновесия цепи, сформированные лю­бым из методов, можно решать либо в численной, либо в символьной форме. В первом случае находят числовые значения токов и напряже­ний цепи, соответствующие определенным значениям параметров элементов и величин, характеризующих внешнее воздействие, во вто­ром — решение получают в виде аналитического выражения, справед­ливого в определенном диапазоне изменения параметров элементов и величин, характеризующих_> заданное воздействие. К настоящему времени наибольшие успехи достигнуты в области численных методов решения уравнений электрического равновесия, которые основаны на хорошо разработанных методах вычислительной математики и легко поддаются алгоритмизации*). Символьные методы решения уравнений электрического равновесия не имеют единой математической базы и развиты в меньшей степени. Имеющиеся программы машинного ана­лиза иепей, реализующие решение уравнений электрического равно­весия в символьной форме, основаны на использовании метода сигналь­ных графов или метода обобщенных чисел и позволяют анализировать только линейные цепи малой сложности. Методы символьного решения нелинейных дифференциальных или алгебраических уравнений во­обще не разработаны.

Определяющее влияние на выбор методов численного анализа оказывает уровень развития средств вычислительной техники и соот­ветствующего математического обеспечения. В свою очередь исполь­зуемые методы численного анализа существенным образом влияют на выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Поэтому на каждом этапе развития вычислительной техники на пер­вый плац выступают свои методы решения уравнений электрическо­го равновесия и соответствующие им методы формирования этих урав­нений.

Заключительным этапом машинного анализа цепей является пред­ставление результатов. На этом этапе обрабатываются результаты ре-

Детально ознакомиться с численными методами решения уравнений элект­рического равновесия можно при изучении курсов «Высшая математика» и «Вы­числительная техника в инженерных расчетах и основы САПР».

шения уравнений электрического равновесия, определяются иско­мые характеристики цепи, и полученные данные выводятся из ЭВМ. Результаты анализа цепи поступают либо на автоматические алфавит­но-цифровые печатающие устройства, либо на дисплеи — визуальные устройства отображения графической и алфавитно-цифровой информа­ции, а при необходимости и на механические графопостроители, ко­торые вычерчивают соответствующие кривые. Современные програм­мы автоматизированного анализа цепей, как правило, организуют ра­боту ЭВМ в диалоговом режиме, при котором пользователь на осно­ве данных предварительного анализа может вводить в ЭВМ директи­вы, с помощью которых определяется вид анализа, производится из­менение схемы исследуемой цепи или параметров ее элементов, зада­ется тот или иной способ представления получаемых результатов.

Программы машинного анализа цепей являются частью совре­менных систем автоматизированного проектирования (САПР) и входят в состав математического обеспечения автоматизированных рабочих мест проектировщика радиоэлектронной аппаратуры. Несмотря на обилие таких программ, постоянно возникает необходимость их усо­вершенствования или разработки новых программ. Поэтому специали­сты в области радиоэлектроники должны четко представлять себе оснозные принципы, положенные в основу машинных методов ана­лиза цепей.

§ 7.2. Методы формирования уравнений электрического

РАВНОВЕСИЯ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ ДЛЯ ПРИМЕНЕНИЯ

В ПРОГРАММАХ МАШИННОГО АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ

Компонентные матрицы и компонентные уравнения цепи

Для составления уравнений электрического равновесия цепи с помощью ЭВМ необходимо формализовать исходные данные о тополо­гии цепи и параметрах входящих в нее элементов. Наиболее удобным является представление этой информации в матричной форме. Извест­но, что топологические свойства цепи полностью определяются ес графом, которому можно поставить в соответствие различные тополо­гические матрицы: матрицу узлов А, матрицу главных контуров В, матрицу главных сечений Q и др. Эти матрицы связаны между собой определенными соотношениями [5] так, что всегда, зная одну из них, можно определить любую другую. Наиболее просто с помощью ЭВМ формируется матрица узлов, так как при этом не требуется строить дерево цепи и определять соответствующую систему главных контуров или главных сечений.

С помощью ЭВМ можно формировать и компонентные матрицы, применяемые для составления компонентного уравнения цепи в ма­тричной форме. В большинстве программ машинного анализа цепей с целью упрощения и унификации компонентных уравнений ветвей используют расширенное топологическое описание цепи, при которое каждый идеализированный двухполюсный элемент рассматривается в качестве отдельной ветви. Полагая для простоты, что исследуемая

иепь не содержит вырожденных источников, используем один из ва­риантов расширенного топологического описания цепи, при котором активный двухполюсник, состоящий из идеального источника тока или напряжения и сопротивления, которое можно рассматривать как внутреннее сопротивление соответствующего источника, представля­ется в виде одной ветви графа.

В зависимости от того, какая из величин (ток или напряжение) выбрана в качестве независимой переменной, компонентные урав­нения ветвей, содержащих идеализированные пассивные элементы, могут быть записаны в одной из двух форм: для сопротивления (1.9) или (1.10), для емкости (1.13) или (1.16), для индуктивности (1.22)

жения и тока

или (1.23). Принимая, что положительные направления токов и на­пряжений всех ветвей цепи совпадают, компонентные уравнения вет­ви, содержащей идеальный источник напряжения (рис. 7.1, а), мож­но представить в виде

u=Rii—e, i==—— (ы-f-e),

Ri

а компонентные уравнения ветви с источником тока (рис. 7.1, б) в виде

u = Ri(i—j), i=rj+-L-_u.

*<i

t

Вводя обозначения sa = dddt, s^-1a = J adt, где s — оператор

дифференцирования; s^-1 — оператор интегрирования, компонентные уравнения каждой ветви при произвольном внешнем воздействии можно записать (табл. 7.1) либо в форме Z

и — Ыу Ч^- Z (i — j_v), (7.1)

либо в форме Y

i = i_g + Y (и — u_g). (7.2)

Здесь и, i — напряжение и ток ветви; Y, Z — коэффициенты, опре­деляемые характером входящих в ветвь идеализированных пассив­

ных элементов; i_v, u_v, i_g, u_g — величины, характеризующие внешние

воздействия на цепь и независимые начальные условия. Уравнениям (7.1), (7.2) можно поставить в соответствие обобщенные ветви, схемы замещения которых приведены на рис. 7.2. При гармониче­ском внешнем воздействии компонентные уравнения ветвей сохра­няют ту же структуру, но мгновенные значения токов и напряжений заменяются их комплексными изображениями, оператор s — на /ю, независимые начальные условия полагают равными нулю.

Если компонентные уравнения всех ветвей цепи представлены в одной и той же форме (Z или У), то их можно объединить в одно мат­ричное компонентное уравнение цепи соответственно либо в форме Z:

u = u_v + Z {i - i_v}, (7.3)

либо в форме У

' = ig + Y {u— u_g}. (7.4)

Здесь Z, Y — квадратные матрицы, называемые матрицами сопро­тивлений и проводимостей цепи; i, и — векторы (матрицы-столбцы) мгновенных значений токов и напряжений ветвей; i_v, u_v, \_g, u_g — задающие векторы, характеризующие внешние воздействия на цепь и независимые начальные условия.

• ••••

Пример 7.1. Сформируем компонентные матрицы цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а. Граф, соответствующий принятому в этой главе то­пологическому описанию цепи, изображен на рис. 7.3, б.

У:

ii=0+ (Uj + e)/Ri, i_& — i₅ (0) + (u_s — 0)/(sL₁);

1*2 — 0 -J- (u2 — 0)/Rj! *6 ⁼ 0 -f- sC (Mg — 0);

⁼ 0 + («з — 0)/R₃; г? = iy (0) + (uy — 0)/(sZ,₂).

U = / + («4 — 0)/Ri,

Объединяя компонентные уравнения всех ветвей в одно, получаем, матрич­ное компонентное уравнение цепи в форме К:

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (7.4), находим компонентные матрицы:

Записывая компонентные уравнения всех ветвей той же цепи в форме Z и Приводя их к виду (7.3), получаем, компонентные матрицы:

Таким образом установлено, что зависимости между токами и на­пряжениями всех ветвей электрической цепи могут быть представлены в виде одного матричного компонентного уравнения в форме (7.3) или (7,4); причем вся информация о характере ветвей и параметрах вхо­дящих в них элементов заключается в компонентных матрицах Z, u_v, i_v или Y, Ug, ig соответственно.

Алгоритмы формирования компонентных и топологических мат­риц цепи с помощью ЭВМ рассмотрены в [4, 5].

Необходимо отметить, что введенные компонентные и топологиче­ские матрицы цепи относятся к так называемым разреженным матрицам, содержащим большое число нулевых элементов. Хранение таких матриц в памяти ЭВМ в виде двухмерных массивов неэкономич­но (значительная часть памяти будет занята хранением нулевых коэффициентов). Как правило, программы анализа цепей организуют таким образом, чтобы в памяти ЭВМ хранилась информация только о ненулевых элементах матриц. Данные о координатах и значениях не­нулевых элементов компонентных и топологических матриц пред­ставляют в виде совокупности одномерных массивов, называемых списками. Дополнительно объем памяти ЭВМ можно сэкономить за счет того, что ненулевые элементы топологических матриц могут принимать значения только -(-1 или —1.

В связи с тем что элементы компонентных и топологических ма­триц численно равны коэффициентам компонентных (7.3) или (7.4) и топологических (1.46), (1.52) уравнений, запись в память ЭВМ эле­ментов этих матриц можно рассматривать как занесение в память ЭВМ коэффициентов основной системы уравнений электрического равно­весия цепи, а формирование компонентных и топологических матриц равносильно, следовательно, формированию основной системы урав­нений электрического равновесия цепи в матричной форме.

При использовании принятого в этой главе топологического опи­сания основная система уравнений электрического равновесия цепи, содержащей р ветвей, включает в себя 2р уравнений. Количество урав­нений электрического равновесия может быть уменьшено за счет ис­ключения из основной системы уравнений зависимых токов и напря­жений с помощью методов узловых напряжений и контурных токов.

Методы узловых напряжений и контурных токов

Известно, что метод узловых напряжений основан на том, что на­пряжения всех ветвей произвольной электрической цепи могут быть выражены через ее узловые напряжения. В матричной форме зависи­мость напряжений ветвей от узловых напряжений определяется соот­ношением, получившим название узлового преобразова­ния:

u = A⁽u_i0. (7.5)

Здесь А¹ — транспонированная матрица узлов; и, и_/0 — матрицы- столбцы мгновенных значений напряжений ветвей и узловых напря­жений соответственно

• ••••

Пример 7.2. Убедимся в справедливости соотношения (7.5) на примере цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а. Матрица узлов этой цепи, соответст­вующая ее графу, изображенному на рис 7.3, б, имеет вид

0

1

о

ую

-1

О

о

0

1

о

о

«и

^U20

^и эо и_ля

—«10 ^uzo

^изо

^М40

^Ul0 ^М20 ^20—^и30 _—^иЭО—«40

А нелогичное соотношение может быть получено непосредственно из рас­смотрения схемы цепи (рис 7.3, а).

Для формирования системы узловых уравнений воспользуемся компонентным уравнением цепи в форме Y. Умножая матрицу узлов на каждое из слагаемых, входящих в выражение (7.4), получаем

Ai - AL + AYu — AYu,,.

Левая часть этого уравнения представляет собой матричную за­пись уравнения баланса токов (1.46), поэтому

0.

Выражая напряжения ветвей через узловые напряжения (7.5) и выполняя преобразования, получаем систему узловых уравнений це­пи в матричной форме

(7.6)

Из выражений (7.6), (7.7) видно, что матрица узловых проводи­мостей исследуемой цепи и матрица-столбец узловых токов

(7.8)

могут быть получены с помощью простых алгебраических операций над матрицей узлов А и компонентными матрицами Y, u_g, \_g. По­скольку компонентные и топологические матрицы цепи содержат значительное количество нулевых элементов, при формировании матрицы узловых проводимостей Y(_/;-) и матрицы-столбца узловых токов j_t0 используют специальные алгоритмы, учитывающие разре­женность матриц A, Y, и^, L и исключающие тривиальные операции над нулевыми элементами. Можно убедиться, что система узловых уравнений цепи для мгновенных значений (7.7) и система узловых уравнений той же цепи для комплексных действующих значений {4.22) имеет одинаковую структуру и могут быть получены одна из другой с помощью таких же преобразований, которые необходимы для взаимного преобразования компонентных уравнений для мгновенных значений и компонентных уравнений для комплексных действующих значений.

• ••••

Пример 7.3. Используя выражения (7.8), сформируем матрицу узловых проводимостей и матрицу-столбец узловых токов цепи, схема которой приведена на рис. 7.3, а.

Матрица узлов А н компонентные матрицы цепи Y. iig, i_g были получены в примерах 7.1 и 7.2. Подставляя эти матрицы в (7.8), находим

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

_L _LY

R_x ⁺ sLj J'

X

0 10 0- 0—1 10 0 0—1—1

e/Rx—(5 (0)

<5(0) h (0)

. /—/? (0) _

Нетрудно убедиться, что аналогичные выражения могут быть получены и с применением рассмотренного в гл. 4 алгоритма, используемого в ручных методах формирования уравнений электрического равновесия.

Сформировать уравнения электрического равновесия цепи с при­менением ЭВМ можно и методом контурных токов. Используя компо­нентное уравнение цепи в форме Z и учитывая, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей с помощью со­отношения i = \ц, называемого контурным преобразо­

ванием, нетрудно прийти к системе контурных уравнений цепи в матричной форме

Здесь i/j — матрица-столбец контурных токов; Z_(;^ = BZB* — матрица контурных сопротивлений; e_fi = В {Zi_v — u_v} — матрица- столбец контурных э. д. с., В и В' — матрица главных контуров и транспонированная матрица главных контуров рассматриваемой цепи.

В связи с тем что компонентные матрицы Z и Y содержат в об­щем случае операторы дифференцирования s и интегрирования s^-1, узловые и контурные уравнения цепи для мгновенных значений наряду с производными содержат интегралы от неизвестных функций времени.

Метод переменных состояния

или ток индуктивности через напряжение

О

о

содержать интегралов от неизвестных функций времени. Такие урав­нения называются уравнениями состояния цепи, а независимые переменные (токи индуктивностей и напряжения емко­стей) — переменными состояния. Такое название от­ражает тот факт, что именно токи индуктивностей и напряжения ем­костей определяют запасы энергии в реактивных элементах и, следо­вательно, характеризуют энергетическое состояние цепи.

Рассмотрим методику формирования уравнений состояния на при­мере простейшей последовательной RLC-цепи (см. рис. 2.20, а), основная система уравнений электрического равновесия которой име­ет вид

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

at

Ur — RIr’,

Выбирая в качестве независимых переменных (переменных состоя­ния) напряжение емкости и ток индуктивности, выразим остальные переменные, входящие в эти уравнения, через и_с и i_r,:

di, du_r

Rii. + L —— + u_c-e-, it С —-j- . (7.10)

dt dt

Получена система уравнений электрического равновесия, в кото­рых в качестве неизвестных фигурируют напряжение емкости и ток индуктивности. Разрешим уравнения (7.10) относительно производ­ных: dijdt = — RiJL — u_c/L + e!L\ du_c!dt — iJC и представим полученную систему уравнений в матричной форме

Или

dX/dt -= аХ + du_s.

Выражение (7.11) является стандартной формой записи уравне­ний состояния цепи, не содержащей зависимых источников энергии. Очевидно, что число независимых уравнений, составляемых по мето­ду переменных состояния, будет равно числу независимо включен­ных реактивных элементов, т. е. порядку сложности цепи. Если ис­следуемая цепь содержит топологические вырождения, к которым от­носятся емкостные контуры и индуктивные сечения, то система урав­нений электрического равновесия цепи наряду с дифференциальными уравнениями (7.11) будет содержать алгебраические уравнения, со­ставленные на основании второго или первого законов Кирхгофа и отражающие связь между напряжениями емкостей или токами индук­тивностей, входящих в соответствующие контуры или сечения.

Матрицы a, d, входящие в состав уравнений состояния цепи, мо­гут быть выражены через компонентные и топологические матрицы рассматриваемой цепи [4, 5, 8].

§ 7.3. Выбор методов формирования

И РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО

РАВНОВЕСИЯ ЦЕПИ

Численные методы решения уравнений электрического

равновесия

При решении отдельных частных задач теории цепей, таких, как исследование цепей нулевого порядка или анализ установившегося режима постоянного тока в линейных или нелинейных цепях, процес­сы в электрической цепи можно описывать системой линейных или не­линейных алгебраических уравнений. Уравнения же электрического равновесия произвольной идеализированной цепи с сосредоточенны­ми параметрами представляют собой систему интегро-дифференциаль- ных уравнений. Интегрирование таких уравнений в современных про­граммах анализа цепей осуществляется, как правило, численными ме­тодами, основанными на замене рассматриваемого непрерывного ин­тервала времени последовательностью точек t_a, t_x, ..., t_n, ... на времен­ной оси. Искомая реакция цепи у = у (t) в этом случае приближенно представляется множеством дискретных значений у₀ = у (t₀), у_л — = у (t-j), ..., у_п = у (t_n), ••• определяемых в результате последова­тельного выполнения ряда шагов интегрирования.

Известные методы численного интегрирования принято разделять на явные и неявные. При использовании явных методов для по­лучения у_п (решения системы уравнений на п шаге интегрирования) используют результаты, полученные на т предыдущих шагах:

Уп ~ F (Уп—Ъ Уп—2» •••> Уп—т)• 0^*12)

В неявных методах для получения решения у_п на каждом шаге интегрирования необходимо решать уравнение

которое в общем случае является нелинейным относительно у_п. Урав­нение (7.13) решают с помощью различных методов последовательного _ приближения, причем для определения значения у_п на каждом шаге интегрирования требуется выполнить несколько последовательных приближений (итераций).

Очевидно, что по сравнению с явными методами, реализация одно­го шага интегрирования с использованием неявных методов требует большего объема вычислений, а следовательно, и больших затрат ре­сурсов ЭВМ (памяти и машинного времени). Поэтому практическое применение неявных методов стало возможным только в последние годы, в результате разработки мощных ЭВМ третьего и четвертого поколений, обладающих высоким быстродействием и значительным объемом памяти. В большинстве программ машинного анализа, раз­работанных до недавнего времени, использовались явные методы ин­тегрирования, что объясняется относительной простотой табулирова­ния функции (7.12) на каждом шаге интегрирования. В то же время при использовании явных методов уравнения электрического равновесия должны быть представлены в форме Коши, т. е. разрешены от­носительно производных от искомой реакции цепи dy dt ~ / (у, t).

Из всех рассмотренных методов только метод переменных состоя­ния позволяет получить систему уравнений электрического равнове­сия цепи в форме Коши, причем процесс машинного формирования уравнений электрического равновесия этим методом более трудоемок по сравнению с методами узловых напряжений или контурных токов.

Явные методы интегрирования весьма чувствительны к выбору шага интегрирования h = t_n — t_n-i-

Если где h_KP — некоторое критическое значение, при­

ближенно равное наименьшей из постоянных времени рассматривае­мой цепи, то возникает явление числовой неустойчив о- в о с т и, проявляющееся в возрастании погрешности вычисления, что в конечном счете может привести к переполнению разрядной сетки ЭВМ.

Необходимость интегрирования с весьма малым шагом значи­тельно увеличивает трудоемкость анализа и является существенным ограничением для применения явных методов к анализу цепей большой сложности.

Неявные методы интегрирования не требуют представления ис­ходных уравнений обязательно в форме Коши и менее чувственны к выбору шага интегрирования. Поэтому, несмотря на высокую тру­доемкость определения решения на каждом шаге интегрирования, суммарные затраты машинного времени при использовании неявных методов могут оказаться значительно меньше, чем при использова­нии явных методов. Вследствие этого в большинстве программ авто­матизированного анализа цепей, разрабатываемых в настоящее время и ориентированных иа применение современных ЭВМ, используются неявные методы интегрирования.

Выбор методов формирования уравнений электрического

равновесия в программах машинного анализа цепей

Как правило, каждая программа машинного анализа цепей бы­вает ориентирована на использование определенного метода форми­рования системы уравнений электрического равновесия, поэтому не­обходимость выбора метода формирования системы уравнений возни­кает только при разработке новых алгоритмов и программ анализа. В течение длительного времени для формирования уравнений элек­трического равновесия использовался преимущественно метод пере­менных состояния. Основной положительной особенностью этого метода является формирование уравнений электрического равнове­сия цепи непосредственно в форме Коши, что допускает применение явных методов интегрирования. Кроме того, выбор в качестве неза­висимых переменных токов индуктивностей и напряжений емкостей значительно облегчает определение вектора начальных условий це­пи, необходимого для интегрирования системы уравнений (7.11).

К недостаткам метода переменных состояния относится значитель­ная сложность формирования системы уравнений электрического рав­новесия, особенно при наличии в цепи топологических вырождений. Для устранения топологических вырождений в эквивалентную схему исследуемой цепи вводятся дополнительные малые сопротивления, а это приводит к возникновению малых постоянных времени. Недо­статки метода переменных состояния дополняются отмеченными ра­нее недостатками явных методов интегрирования.

В связи с разработкой вычислительных мащин с большим объемом памяти и высоким быстродействием создались условия для широ­кого применения неявных методов интегрирования. Это привело к тому, что в последнее время резко увеличился интерес к использованию метода узловых напряжений. Как отмечалось ранее, процесс состав­ления уравнений электрического равновесия цепи по методу узловых напряжений легко поддается автоматизации, причем при составлении уравнений отпадает проблема топологических вырождений.

Метод контурных токов не обладает какими-либо преимущества­ми по сравнению с методом узловых напряжений, однако процесс формирования уравнений электрического равновесия с помощью это­го метода несколько сложнее вследствие необходимости выбора де­рева графа исследуемой цепи и связанной с деревом системы незави­симых контуров. Указанные обстоятельства привели к тому, что боль­шинство отечественных и зарубежных программ анализа цепей, раз­работанных в последние годы, основаны на использовании метода узловых напряжений и его различных модификаций. Подробные све­дения об отечественных и зарубежных программах машинного ана­лиза цепей можно найти в работах [4, 5, 8—131.

§ 8.1. Многополюсники и цепи

С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Задача анализа цепей с многополюсными элементами

Известно два подхода к анализу цепей, содержащих многополюс­ные элементы (лампы, транзисторы, трансформаторы и др.). Пер­вый — заключается в замене всех входящих в цепь элементов (в том числе и многополюсных) моделирующими цепями, составленными только из идеализированных двухполюсников, с последующим ис­следованием процессов в полученной идеализированной цепи с помо­щью рассмотренных ранее методов. Основной недостаток такого под-, хода заключается в том, что число неизвестных токов и напряжений моделирующей цепи может значительно превышать число интересую­щих реакций цепи — токов и напряжений на зажимах реальных эле­ментов.

Второй подход заключается в представлении многополюсных элементов в виде многополюсников. (Аналогичным образом можно пред­ставлять не только отдельные многополюсные элементы, но и любые участки цепи, имеющие несколько выводов, с пимощью которых они соединяются с остальной частью цепи.) Уравнения электрического равновесия идеализированных цепей, содержащих многополюсники, могут быть сформированы на основании соотношений, связывающих токи и напряжения на зажимах многополюсников, причем, как будет показано, число этих соотношений определяется только числом внеш­них выводов многополюсника и не зависит от его внутренней струк­туры. Очевидно, что такой подход дает возможность устранить из рас­смотрения участки идеализированной электрической цепи, токи и на­пряжения которых не представляют интереса в рамках решаемой за­дачи, и, следовательно, существенно уменьшить число одновременно решаемых уравнений электрического равновесия. Для реализации такого подхода необходимо разработать методику получения соотно­шений, связывающих между собой токи и напряжения на зажимах многополюсников, и методику формирования уравнений электриче­ского равновесия идеализированных цепей на основе этих соотношений. Решение указанных задач составляет основное содержание общей те­ории многополюсников, развитой главным образом в работах совет­ских специалистов Ю. Т. Величко, Э. В. Зеляха, Г. Е. Пухова, В. П. Сигорского и В. И. Коваленкова. Рассматриваемые далее положения общей теории многополюсников в основном содержат результаты, по­лученные в работах Э. В. Зеляха и В. П. Сигорского.

Классификация и схемы включения многополюсников

Напомним, что многополюсником называется участок идеализи­рованной электрической цепи, соединяющийся с остальной частью цепи с помощью нескольких внешних выводов (полюсов). Будем счи­тать, что схема многополюсника и параметры входящих в него эле­ментов известны, хотя это в общем случае не является обязательным. Более того, теория многополюсников позволяет получать эквива­лентные схемы устройств, внутренняя структура которых неизвестна. О таких устройствах обычно говорят, что они представляются в виде «черного ящикам. Ограничимся рассмотрением только линейных мно­гополюсников, т. е. многополюсников, в состав которых не входят идеализированные нелинейные пассивные и активные элементы. -

В соответствии с рассмотренной ранее классификацией цепей мно­гополюсники делятся на активные и пассивные. Пассивные многополюсники не содержат идеализированных активных элементов, активные многополюсники содержат уп­равляемые или неуправляемые идеализированные источники энергии. Установить, есть ли в рассматриваемом многополюснике нескомпенси- рованные независимые источники тока или напряжения, моИкно путем измереиий, производимых на внешних выводах многополюсника.

Если все выводы многополюсника, содержащего неуправляемые источники энергии, соединены между собой (закорочены), то токи хо­тя бы части выводов будут отличны от нуля. Если все внешние выводы этот многополюсника находятся в режиме холостого хода, то напря­жения хотя бы между некоторыми парами полюсов не будут равны ну­лю. Многополюсники, удовлетворяющие таким условиям, называются автономными. Если в состав многополюсника входят только идеализированные пассивные элементы или идеализированные пас­сивные элементы и управляемые источники энергии, то токи корот­кого замыкания всех выводов многополюсника и напряжения холо­стого хода между его любыми полюсами равны нулю. Многополюсни­ки такого типа называются неавтономными. Таким образом, к неавтономным многополюсникам относятся все пассивные многопо­люсники, а также те активные многополюсника, которые не содер­жат неуправляемых источников тока или напряжения.

Неавтономные многополюсники занимают особо важное место в теории цепей, так как большинство реальных многополюсных эле­ментов, в частности электронные лампы и транзисторы, при анализе цепей могут быть представлены как неавтономные многополюсники.

В зависимости от того, обладает или не обладает взаимностью (обратимостью) рассматриваемый многополюсник, различают вза­имные и невзаимные многополюсники. В соответствии с

доказанной ранее теоремой (§4.2) любые линейные многополюсники, составленные только из идеализированных пассивных элементов, яв­ляются взаимными. Многополюсники, содержащие идеализированные управляемые источники, как правило, являются невзаимными.

Трудоемкость анализа цепей, содержащих многополюсники, так­же как и трудоемкость анализа цепей, составленных только из идеа­лизированных двухполюсных элементов, в значительной степени за­висит от выбора системы независимых токов или напряжений. При описании процессов, протекающих в цепях с многополюсными эле­ментами, в систему уравнений электрического равновесия включают только токи или напряжения, которые можно измерить на полюсах многополюсников, т. е. связанные с их внешними выводами.

2

Рис. 8.1. 2Хп- (а) и п+ 1-полюсники (б)

Систему независимых токов и напряжений многополюсника мож­но выбрать различными способами в зависимости от схемы включения многополюсника, т. е. от того, каким образом он соединен с остальной частью цепи. Одна из возможных схем включения многополюсника была рассмотрена в гл. 3, когда все внешние выводы были разбиты на пары, образующие стороны (порты) многополюсника. Многополюсник, полюсы которого разбиты на пары, образующие п сторон, обычно на­зывают л-сторонним или 2 X п-п олюсником (рис. 8.1, а). Внутри многополюсника отдельные полюсы могут быть соединены между собой так, что они являются общими для различных сторон многополюсника. Например, в многополюснике, схема которого при­ведена на рис. 3.19, а, соединены между собой полюсы 1' и 3', а так­же полюсы 1 и 2. Многополюсник, у которого один из полюсов являет­ся общим для всех п сторон, называется л + 1-п олюсником (рис. 8.1,6). Заметим, что представление многополюсника в виде 2 X га- или п + 1-полюсников не связано с его внутренней структу­рой, а определяется только способом соединения многополюсника с остальной частью цепи. Любой многополюсник может быть включен и как 2 X п-, и как п + 1-полюсник (рис. 8.2).

Представление многополюсника в виде 2 X л-полюсника обычно используют, если выводы многополюсника могут образовывать сто­роны только единственным образом. Если стороны могут быть обра­зованы различными способами, то представление многополюсника в

Рис. 8.2. Включение четырехполюсника в качестве 2X2- (а), 2X3- (б) и 3+1-полюсника (в)

виде 2 X n-полюсника не удобно, так как не позволяет простым спо­собом переходить от системы уравнений, соответствующих одному со­четанию пар полюсов, к уравнениям, соответствующим другому соче­танию. Представление многополюсника в виде п + 1-полюсника так­же не универсально, поскольку один из его полюсов поставлен в не­равноправное положение по отношению к другим. I

Очевидно, что наиболее общий характер носит такая система за­дания напряжений и токов многополюсника, при которой все его вы­воды равноправны по отношению к образованию внешних соединений. Этому условию удовлетворяют два способа задания токов и напряже­ний (рис. 8.3). В первом (рис. 8.3, а) напряжения всех полюсов мно­гополюсника отсчитываются относительно некоторого базисного уз­ла, находящегося вне многополюсника, а токи всех выводов считают­ся направленными внутрь многополюсника. Такой выбор токов и на­пряжений удобен при формировании уравнений электрического рав-

3

Рис. 8.3. Обобщенные (неопределенные) схемы включения мно­гополюсника

новесия цепи по методу узловых напряжений, поскольку токи и на­пряжения выводов многополюсника могут быть отождествлены с уз­ловыми токами и узловыми напряжениями тех узлов цепи, к которым подключены соответствующие выводы многополюсника. Второй спо­соб задания токов и напряжений многополюсника (рис. 8.3, б) удобен при использовании метода контурных токов. Процессы в многополюс­нике характеризуются в этом случае напряжениями между выводами многополюсника и токами контуров, образованных сторонами много­полюсника и остальной частью цепи. Рассмотренные схемы включе­ния многополюсников будем называть обобщенными (не­определенными).

Анализируя обобщенные схемы, нетрудно установить, что напря­жения полюсов многополюсника относительно базисного («₁₀, ы_г0,..., ..., ыл'₀) не связаны между собой какими-либо соотношениями и мо­гут задаваться независимо. В то же время из второго закона Кирх­гофа следует, что напряжения между выводами многополюсника и_и и₂, ..., иы выражаются через напряжения полюсов относительно ба­зисного с помощью соотношений

^ui — ^uio — ^uNo>

и₂ ~ н_ао ы₁₀;

(8.1)

«ЛГ = Un о — ^UN-1.0-

(8.2)

Ui u₂ -f- ... -J- Un — 0.

Таким образом, только N— 1 напряжений между выводами много­полюсника могут быть заданы независимо.

и что токи всех выводов связаны соотношением

In — Inn — hi

(8.3)

Таким образом, несмотря на то, что все N контурных токов i_lu i_22l ..., tww являются независимыми, только N— 1 токов внешних выводов многополюсника могут быть заданы независимо.

В общем случае каждая пара внешних выводов многополюсника может рассматриваться как его сторона (вход или выход), следователь­но, для многополюсника, имеющего N внешних выводов, можно вы­делить С% — N (N— 1)/2 сторон (число сочетаний из N по 2). Сто­роны многополюсника, напряжения (токи) которых могут быть зада­ны независимо от напряжений (токов) других сторон, называются не­зависимыми. Из соотношений (8.2), (8.3) следует, что у многополюсни- ника, имеющего N внешних выводов, можно выделить не более N — 1 независимых сторон. В частности, четырехполюсник имеет не более трех независимых сторон (см. рис. 8.2).

Основные уравнения и первичные параметры линейных

неавтономных многополюсников

Основными уравнениями многополюсни- к а называются соотношения, определяющие связь между токами и напряжениями на его внешних выводах. Коэффициенты, входящие в основные уравнения, называются первичными параметр а- м и многополюсника. В зависимости от схемы включения и того, какие величины выбраны в качестве независимых, а какие — в ка­честве зависимых переменных, каждому многополюснику можно ^по­ставить в соответствие различные системы основных уравнений и со­ответственно различные системы первичных параметров. Если опре­делитель системы основных уравнений многополюсника не равен ну­лю, то такая система уравнений называется определенной, в противном случае система основных уравнений является неопре­деленной. Матрица коэффициентов системы основных уравне- нений, определитель которой равен нулю, называется особен­ной, или неопределенной, матрицей первичных парамет­ров многополюсника.

Несмотря на то что число независимых основных уравнений мно­гополюсника равно числу его независимых сторон N — 1, для описа­ния многополюсников широко используют неопределенные системы основных уравнений, соответствующие обобщенным (неопределенным) схемам включения многополюсников (рис. 8.3), число уравнений в в которых равно числу внешних выводов многополюсника N. Это позволяет применять достаточно простые методы формирования урав­нений электрического равновесия цепей с многополюсными элемен­тами. В то же время, зная неопределенные матрицы первичных пара­метров многополюсника, легко получать определенные матрицы в лю­бой схеме включения.

Рассмотрим линейный неавтономный многополюсник, находящий­ся под гармоническим внешним воздействием. Пусть напряжения всех выводов многополюсника относительно базисного задаются с помощью независимых источников напряжения (рис. 8.4, а). В соответствии с принципом наложения ток каждого вывода равен сумме частичных токов, вызванных действием каждого из независимых источников на­пряжения в отдельности:

i₁=I\'> + i\*⁾ + ... + l[»)^Y_J1B₁+Y₁₂£₂4-... + Y_lN£_N-,

^2 ⁼⁼^2^1> + ••• + ^а^ЛГ) — lj21 “Ь У» ^2"b ••• +^2ЛГ £n\ (8.4)

In = 4‘^:) + W + • • • + /Г = Y_N, £_t+ Улг₂ £₂ +... + Y nn £n.

Здесь i^{li — частичный ток i-ro вывода, вызванный действием ис­точника £j в режиме, когда все остальные независимые источники на­пряжения выключены (закорочены).

Коэффициенты уравнений (8.4) — первичные параметры много­полюсника — имеют физический смысл входных и передаточных про­водимостей, определенных в режиме короткого замыкания, поэтому их

i

Рис. 8.4. К выводу основных уравнений многополюсника в

форме Y

обычно называют параметрами короткого замыка­ния, или У-п араметрами, многопо люсника. Как видно из уравнений (8.4),

Yjj= If/Ej- (8.5)

это комплексная входная проводимость многополюсника со стороны зажима / (комплексная входная проводимость между полюсом / и соединенными вместе остальными полюсами), измеренная в режиме, когда все источники напряжения, кроме £j, выключены (рис. 8.4, б). Аналогично, параметр

Y_l} = /<?/£, (8.6)

имеет физический смысл передаточной проводимости от полюса / к полюсу i, определенной в режиме, когда все источники напряжения, кроме £] , выключены (рис. 8.4, б).

Заменяя в уравнениях (8.4) э. д. с. источников соответствующими напряжениями и используя матричную форму записи, получаем

и»

и.

Уравнения (8.7) будем называть основными уравнениями много­полюсника в форме У. Квадратная матрица

4} =

Yni У N2" • У NN

в правой части уравнений (8.7), называется неопределенной матрицей проводимостей или неопределенной матри­цей F-параметров многополюсника. Ее можно рассматривать как обобщенный параметр многополюсника, устанавливающий связь между вектором токов выводов многополюсника и вектором напряже­ний этих выводов относительно некоторого базисного узла. Элементы матрицы Y_;j- определяются в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов короткого замыкания, которые могут прово­диться как экспериментальным, так и расчетным путем.

• ••••

Пример 8.1. Найдем неопределенную матрицу Y-параметров полевого транзистора, схема замещения которого по переменному току в режиме малого сигнала изображена на рис. 1.19, б.

Присвоим выводу затвора полевого транзистора номер 1, стока — 2, ис­тока — 3, и составим комплексную схеми замещения (рис. S.5, а), на которой элементы, входящие в эквивалентную схему для мгновенных значений, представ­лены их комплексными проводимостями: Y_x — /шС_зи, К₂ — /шС_зс, Y₃ = GI + + /соС_си.

Основная система уравнений рассматриваемого многополюсника в форме Y

содержит девять неизвестных коэффициентов (Y-параметров полевого тран­зистора), Для их нахождения рассчитаем токи транзистора в режимах корот­кого замыкания на различных парах выводов.

Схема опыта короткого замыкания для определения параметров Y_u, У 21, У₃₁, входящих в первый столбец неопределенной матрицы проводимостей, приве­дена на рис. 8.5, б. Используя эту схему, найдем частичные токи первого, второ-

Рис. 8.5. К примеру 8.1

ео и третьего выводов транзистора, вызванные действием шуправляемого ис. точника напряжения Е_х - - U₁₀, включенного между выводом 1 и соединенными вместе остальными выводами транзистора:

/^>-(УН У,) tf.o-(У» •!-£)£.;

- su_w—Yj O_l0---.(S-Y,) ip>^-(S + Y₁)U_lо---- -(S + K_t)

Отношения этих частичных токов к э. д. с. вызвавшего их источника напря­жения в соответствии с (8.5 и 8.6) являются Y-параметрами полевого тран­зистора:

К_и = /<*>/£,-К, I-У₂,

У_и = }^46i = S-Y_ti _Уц =H¹>/fi₁=---(S + К,).

Аналогичным образом, используя схемы опытов короткого замыкания, при­веденные на рис. 8.5, в, г, определим Y-параметры полевого транзистора, входя­щие во второй и третий столбцы неопределенной матрицы проводимостей:

У₁₂ =.'П²>/£,- -У,; У₁₈ =

У₂₂ =/&*’/£» = У, + У»: У₂з =,?'•>/£,-■= -(Уз+5);

К₃₂- -У,; Кзз- t^/E^^ + Ys f S.

Таким образом, неопределенная матрица Y-параметров полевого транзистора имеет вид

1 2 3

]

Покажем, что не все элементы неопределенной матрицы проводи­мостей являются независимыми. С этой целью, используя систему уравнений (8.7), найдем сумму токов внешних выводов многополюс­ника:

Л+ ^2 + ••• + ^лг = (^11+^21+ ••• + Улп) ^ю +

+ (Y_lt + Y₂₂ + ... + Y_N2) U₂о + ... -f- (Yjn-{-Y^n"Ь ••• + Ynn) Uno- (8.8)

Левая часть уравнения (8.8) в соответствии с выражением (8.3) равна нулю, поэтому

0^11+^21 + ••• + Y_N\) f^lo + 0^12 22+ ••• + Y_N2) f^2o+ ••• +

'\-(Yin-{-Y2_iW-\- ,..-\-Ynn)Ono = 0. (8.9)

В связи с тем что напряжения выводов многополюсника относи­тельно базисного узла можно выбирать независимо, равенство (8.9) должно выполняться при любых значениях £У₁₀, U._ln, Un₀. Пола­гая последовательно равными нулю напряжения всех выводов относи­тельно базисного, кроме одного, заменим уравнение (8.8) системой урав­нений

(Уц +_)^21 4" • • • + Ynl) t/j.0 ~

(^12+^22+ ••• +Ул'2) t/2о = О?

(Yin Y2N 4- . •• 4* Ynn) Uno — 0,

откуда следует, что сумма элементов каждого столбца неопределенной матрицы проводимостей равна нулю.

Если напряжения всех выводов многополюсника относительно ба­зисного одинаковы и равны U (это может быть в том случае, если рее выводы многополюсника закорочены и между ними и базисным уз­лом включен независимый источник напряжения В = U), то их токи должны равняться нулю:

Ii = (Y_J1 + Y_a + ...+Y₁s)U = Q-, и = (Уп + У_я+... + У_гн)0 = 0-

(8.10)

/л' = (Yni ~{'Yn2 ■+■••• +ijvw) U ~0.

Из уравнений (8.9) следует, что сумма элементов любой строки неопределенной матрицы проводимостей равна нулю. Таким образом, из N² элементов неопределенной матрицы проводимостей только (N—I)² являются независимыми.

Пусть токи контуров, внешних по отношению к многополюснику Задаются с помощью независимых источников тока J_u J₂, ..., Jn,

Рис. 8.6. К выводу основных уравнений многополюсника в форме Z

действием каждого из независимых источников тока в отдельности: 0₁ = 0\ * +С/]²⁾ +... + =Z_UJi+Zp + ••• ±ZinJn;

— U⁽2 * +йг²⁾ 4- =Zzij₁^JrZ_ztj_z-\---- +Z2nJn',

(8.11)

On — -f- DW +... + Off'* = Zn\ ji + Zn2 Ji +.. • + Znn jn.

Коэффициенты системы уравнений (8.11) называются парамет­рами холостого хода, или Z- п араметрами, много­полюсника и имеют физический смысл входных

(8.12)

(8.13)

комплексных сопротивлений, определенных в режиме, когда все ис­точники тока, кроме «/у, выключены (рис. 8.6, б). Заменяя в уравне­ниях (8.11) источники тока контурными токами соответствующих кон­туров и используя матричную форму записи, получаем основные уравнения многополюсника в форме Z:

^21 ^22 ••• Z%N

Квадратная матрица

Zyl ••• Z\N Zgi Zj2 ••• Z2N

ZnI Zn2Znn

стоящая в правой части уравнений (8.14), называется неопре­деленной матрицей сопротивлений, или не­определенной матрицей Z-параметров, многополюсника¹.

Неопределенную матрицу сопротивлений Z_tj можно рассматри­вать как обобщенный параметр многополюсника,устанавливающий связь напряжений между выводами многополюсника с контурными то­ками внешних по отношению к нему контуров. Элементы неопределен­ной матрицы сопротивлений определяются в соответствии с их фи­зическим смыслом по результатам опытов холостого хода, причем сумма элементов каждого столбца и сумма элементов каждой строки матрицы Zu равны нулю.

• ••••

Пример 8.2. Найдем неопределенную матрицу сопротивлений биполярно­го транзистора, низкочастотная схема замещения которого по переменному то­ку в режиме малого сигнала приведена на рис. 1.19, а.

Присвоим выводам эмиттера, коллектора и базы соответственно номера 1, 2, 3 и построим комплексную схему замещения транзистора, на которой укажем положительные направления напряжений между выводами и положитель­ные направления контурных токов внешних по отношению к транзистору конту­ров (рис. 8.7, а). Основная система уравнений рассматриваемого многополюсни­ка в форме Z

содержит девять неизвестных коэффициентов—Z-параметров транзистора, для определения которых необходимо произвести три опыта холостого хода. Схемы опытов холостого хода, позволяющих найти частичные напряжения между вы­водами транзистора, вызванные действием каждого из источников тока — ~ Ai> ^2 ⁼ ^22 и J₃ — /33 в отдельности, приведены на рис. 8.7, б, в, г соот­ветственно. Отношения чатичных напряжений к токам вызвавших их источни­ков тока согласно (8.12), (8.13) представляют собой искомые параметры:

_Zn = Vi¹ ’/Л=* э+я_б; 2₂₁ = U^/J\=R_m-R₉;

Z12 —Яэ» ^22 ~ ^2² 2 — Rk Яэ Rrni

z_l3= u{v/j₃=-R6! i23=^³⁾/4=“*„;

2.31 ⁼ / j\ — (Rm~\~ RqY)

£32 =u^lh = R_m-R_K\

Z33 —йЪ?)/J3 — R()-\- R_H.

Можно убедиться, что сумма элементов любой строки, как и сумма элемен­тов любого столбца неопределенной матрицы сопротивлений биполярного тран­зистора ,

1 2

Яэ + R б Rm Ro ~(Rm~\~ Ra) -R₃

Ru~tRa~- Rn Rm Rk

равна нулю.

При построении основных уравнений многополюсника в формах Y или Z в качестве независимых переменных выбирались либо толь­ко напряжения, либо только токи, связанные с внешними выводами. В каждом из этих случаев коэффициенты основной системы уравне­ний имели одинаковую размерность и определялись в одном и том Же режиме (короткого замыкания или холостого хода). Системы пер­вичных параметров многополюсника, в которых все параметры имеют одинаковую размерность и определяются в одинаковом режиме, называются однородными.

Если в качестве независимых переменных выбрать токи одних, а напряжения других сторон многополюсника, то коэффициенты полученной системы уравнений будут иметь различную размерность и определяться в различных режимах, причем часть недиагональ­ных элементов соответствующей матрицы параметров может оказать-

ся безразмерной. Если на некоторых сторонах многополюсника и ток и напряжения выбраны в качестве независимых переменных, то безразмерными могут быть и некоторые диагональные элементы. Системы первичных параметров многополюсника, в которые вхо­дят параметры, имеющие различную размерность, и которые опре­деляются в различных режимах, называются смешанными (гибридными).

Основные свойства неопределенных матриц проводимостей

и сопротивлений линейных неавтономных многополюсников

Первичные параметры многополюсника при любом выборе си­стемы независимых токов и напряжений имеют физический смысл комплексных частотных характеристик многополюсника в режимах короткого замыкания или холостого хода. Как и любые комплексные частотные характеристики линейных цепей, первичные параметры линейного неавтономного многополюсника не зависят от ампли­туд и начальных фаз токов и напряжений, действующих на зажимах многополюсника, а определяются только его внутренней структурой, параметрами входящих в него элементов и частотой внешнего воз­действия. При произвольном внешнем воздействии основные урав­нения многополюсника сохраняют такую же структуру, как и при гармоническом воздействии, причем его токи и напряжения пред­ставляются операторными изображениями, а в выражениях для пер­вичных параметров /<о заменяется на р. Таким образом, первичнее параметры линейного неавтономного многополюсника в общем слу­чае являются функциями комплексной частоты р.

В связи с тем что сумма элементов каждой строки и сумма эле­ментов каждого столбца неопределенных матриц сопротивлений и про­водимостей равны нулю, столбцы и строки этих матриц линейно за­висимы. Следовательно, определители матриц Z*j и Y_u- равны нулю и системы уравнений (8.7) и (8.14) не могут быть разрешены относи­тельно напряжений полюсов U_}0 или токов внешних контуров соответственно.

Анализируя структуру основных уравнений многополюсника, не­трудно установить, что 6-му полюсу многополюсника соответствует k-я строка и k-й столбец неопределенной матрицы проводимостей, а k-й стороне многополюсника (6-му контуру, образованному одной из сторон многополюсника и остальной частью цепи) — k-я строка и k-й столбец неопределенной матрицы сопротивлений. Изменение нумерации полюсов или сторон многополюсника не вызывает измене­ния элементов неопределенных матриц, а приводит только к пере­становке соответствующих строк и соответствующих столбцов. Так, при взаимной замене номеров двух каких-либо полюсов много­полюсника необходимо поменять местами строки и поменять места­ми столбцы матрицы \ц, имеющие соответствующие номера. Ана­логично при взаимной замене номеров двух каких-либо сторон не­обходимо произвести перестановки соответствующих строк и соот­ветствующих столбцов матрицы Ъ_1}.

Пример 8.3. Найдем неопределенную матрицу проводимостей полевого транзистора, рассмотренного в примере 8.1 в случае, когда выводам затвора, сто­ка и истока присвоены соответственно номера 2, 3 и 1 (напомним, что в примере 8.1 этим выводам были присвоены номера 1, 2 и 3).

Неопределенная матрица проводимостей, соответствующая такой нуме­рации выводов, может быть получена способом, приведенным в примере 8.1, од­нако этот способ весьма трудоемок.

В то же время для решения задачи достаточно в матрице проводимостей, полученной в примере 8.1, переставить первый столбец на место второго, второй столбец — на место третьего, третий столбец — на место первого, первую строку следует перенести на место второй, вторую строку — на место тре­тьей, а третью — на место первой, причем последовательность выполнения перестановок не имеет значения. В результате получим:

С помощью неопределенных матриц сопротивлений и проводи­мостей линейного неавтономного многополюсника можно получить матрицы первичных параметров, соответствующие различным схемам включения этого многополюсника.

Пусть какой-либо вывод многополюсника, например с номером N, соединен с базисным узлом (выбран в качестве общего или базис­ного узла). Тогда напряжение N-ro вывода относительно базисного Uno равно нулю и, следовательно, равны нулю частичные токи всех выводов l^(Ni^}, , ..., /дР, вызванные действием источника

Bn = On о- Исключая из системы уравнений (8.7) уравнение для то­ка вывода N, который равен сумме токов остальных выводов, взятой с противоположным знаком, получаем систему основных уравнений многополюсника в рассматриваемой схеме включения

Матрица первичных параметров многополюсника в этом случае

получается из неопределенной матрицы проводимостей этого же мно­гополюсника Yи путем вычеркивания N-го столбца и N-й строки. В общем случае матрица У-параметров многополюсника, 6-й полюс которого выбран в качестве базисного (Y⁽y), получается из неоп­ределенной матрицы проводимостей этого многополюсника пу­тем вычеркивания столбца и строки, соответствующих базисному полюсу. Сумма элементов каждой строки и сумма элементов каждо­го столбца матрицы Y⁽f/ не равны нулю. Определитель этой матрицы, как правило, не равен нулю, и, следовательно, система уравнений (8.15) может быть разрешена относительно напряжений полюсов Ojo-

• ••••

Пример 8.4. Найдем матрицы Y-параметров полевого транзистора, вклю­ченного по схеме с общим истоком и по схеме с общим затвором.

Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора приведена в примере 8.1.

Вычеркивая из этой матрицы третью строку и третий столбец, получаем матрицу Y-параметров транзистора в схеме с общим истоком

1 2 Г1+Г₂

*->:₂ г₂+гз

матрицу Y-параметров пс-

~(Ъ+§)

h+Ь+Ё.

Зная матрицу проводимостей многополюсника Y,-/', включен­ного по схеме с общим 6-м выводом, можно найти неопределенную ма­трицу проводимостей этого многополюсника \_и. С этой целью ма­трица Yдополняется k-й строкой и k-м столбцом, элементы которых выбирают из условия равенства нулю суммы элементов каж­дой строки и каждого столбца неопределенной матрицы проводимо­стей.

Нетрудно установить, что для перехода от матрицы У-парамет- ров многополюсника, включенного по схеме с общим 6-выводом, к матрице У-параметров многополюсника с общим l-м выводом необ­ходимо сначала дополнить матрицу k-й строкой и k-м столб­

цом, элементы которых выбирают из условия равенства нулю суммы элементов каждого столбца и каждой строки неопределенной матри­цы проводимостей, а затем вычеркнуть из полученной матрицы 1-й столбец и l-ю строку.

• ••••

Пример 8.5. Определим матрицу Yj®* биполярного транзистора, включен­ного по схеме с общей базой, по известной матрице Y-параметров этого транзит ctnop^a в схеме с общим эмиттером

б к

б Г у(Э) у(Э)

Y<?> = -¹¹ -¹² .

-¹ Ч/iV Y.IV-

Дополняя Y}®* строкой и столбцом, соответствующими выводу эмиттера

б

•riV +y[V +rft⁾ +2ГЙ? -(riV+I2V) -tY$+Y$)

⁶

и вычеркивая строку и столбец, соответствующие выводу базы, получаем матрицу проводимостей биполярного транзистора в схеме с общей базой

Y<?>=⁹ ~' к

Если два каких-либо вывода многополюсника, например с но­мерами k и N, объединяются в один полюс .которому присваивает­ся номер 6, то напряжение этого полюса относительно базисного уз­ла равно U_h0, а его ток равен сумме токов 6-го и N-го выводов. При этом в основной системе уравнений многополюсника (8.7) уравнения для токов 6-го и N-ro выводов

Ik — "Ь X_h2 ^20+ ••• + Y^_hU_llQ-jr •••4" Yk,N— I On — 1,0 -\~YkN Uno,

^n~Y_Ni U₁₀ -\-Yn2 U₂₀-\-... + Yj/k Uho 4- —i.o 4- Ynn Unq

заменяются одним уравнением

~0ja + H^wl) ‘b0ja4‘ Yn2) ^2o 4- • ■ • + + YkN + Y_Nk +J^nn)X

X Uho 4" ••• 4* (Y_k,N—\ -\-Yn,n—i) Un—i,o-

Следовательно, при объединении 6-го и N-го полюсов в один 6-й полюс 6-я и N-я строки неопределенной матрицы проводимостей мно­гополюсника суммируются и становятся 6-й строкой, а 6-й и N-й столбцы суммируются и становятся 6-м столбцом.

Пример 8.6. Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника А, приведенного на рис. 8.8, а,

Ъ]А

Основные уравнения исходного многополюсника в форме Y имеют вид К =Гп U₁₀+Y_ltt U₂₀ + Y₁₃ Un + Y^ U_i0,

12 ^ 1° ~r ^22 ^20+^23 ^30 ~l~ У24 U40 >

hi⁼Y_3l t/i0 + y*2 й20 + ^33 0₃₀~Ь У34 ^40»

^4 ⁼ У41 ^10+J^42 U20 + ^43 ^80 + ^44 ^40-

У мног(М.олюсника, полученного из исходного путем объединения выводов 3 и 4, напряжение объединенного вывода равно U₃₀, а ток — сумме токов третьего и четвертого выводов исходного многополюсника:

К = Уц ^ 10+112 i^O + ^S +Il4) U„i

К — ^21 ^10 + ^22 ^20 + 0^23 + 2j*⁴) U30»

/3 ⁼ 0> Т ]^4l) ^10 + (^32+ У42) ^20 + (У33 +^34+^43+2^44) t^SO* или в матричной форме

Таким образом, элементы третьей строки и третьего столбца матрицы Yij_E действительно равны сумме соответствующих элементов третьей и четвертой строк и третьего и четвертого столбцов неочределенной матрицы проводимо­стей исходного многополюсника.

Если какой-либо вывод многополюсника, например М-й, не ис­пользуется при его соединении с остальной частью цепи, т. е. явля­ется внутренним узлом многополюсника, то ток этого вывода

/n =2^ni ^i₀+_^jv2 ^20+ ••• +j^Ar,N—i Un—i.o +_V"jv nUno~0. (8.16)

Определяя из уравнения (8.16) напряжение N-ro вывода

Uno — — Yni U_1q/Yjin—У_Ы2 U_2o/Y_nn —... — Yn,n— i Un—i.q/Yn.n

и исключая Un₀ из основной системы уравнений электрического равновесия исходного многополюсника, получаем

Система уравнений (8.17) может быть представлена в матричной форме

YinZn,n— 1~ Z^n Z2nYn,n—i Znn

Y_n— i, jv — i — jjv — i.jv jjv.N—i

Znn

получается из неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника путем вычеркивания N-й строки и jV-го столбца и замены остальных элементов Y ц новыми YJf, определяемыми с помощью соотношения ~

(8.18)

•••••

Пример 8.7. Зная неопределенную матрицу проводимостей многополюсника, приведенного на рис. 8.8, а (см. пример 8.6), найдем неопределенную матрицу проводимостей Y.j g многополюсника, который получается из исходного, если полюс 4 становится внутренним (рис. 8.8, в).

Неопределенная матрица проводимостей многополюсника, приведенного на рис. 8.11, в, получается из неопределенной матрицы проводимостей исходного многополюсника путем вычеркивания строки 4 и столбца 4, а также замены остальных элементов новыми, рассчитанными с помощью выражения (8 18):

ZuZai

Za,

YjtiZu

Zu

ZmZm

Г44

Нетрудно убедиться, что сумма элементов любой строки и сумма элементов любого столбца матрицы Yравны нулю.

Рассматривая основные уравнения многополюсника в форме Z, можно установить, что при размыкании какого-либо из внешних по отношению к многополюснику контуров, например 6-го (контурный ток этого контура I_hh становится равным нулю), из неопределенной матрицы сопротивлений многополюсника вычеркивают /г-ю строку и А-й столбец. Полученная в результате этого матрица сопротивлений

2<*>, как правило, не является особенной, поэтому основная систе­ма уравнений многополюсника, один из внешних контуров которого разомкнут, может быть разрешена относительно токов остальных - контуров.

В отличие от неопределенных матриц сопротивлений и проводи­мостей многополюсника матрицы Z/*> и Y!^\ получаемые из ма­триц Z,j и j путем вычеркивания строки и столбца, будем назы­вать Укороченными матрицами сопротивлений и про­водимостей многополюсника.

При объединении k-ro и N-го выводов многополюсника в один й-й вывод из неопределенной матрицы сопротивлений исходного много­полюсника вычеркивают N-ю строку и N-й столбец, а остальные эле­менты исходной матрицы Z_t} заменяют новыми Z'i/, рассчитанными по формуле ~ ^-

Z,/ = Z_W-—ZtN Zn/IZnn.

Если какой-либо из полюсов многополюсника, например k-й, яв­ляющийся общим для k-ro и l-го контуров, становится внутренним, то контуры k и / объединяются в один l-й контур. В этом случае в неопределенной матрице сопротивлений многополюсника вычерки­вают k-ю строку и k-й столбец, а к элементам /-й строки и l-го столбца прибавляют соответствующие элементы k-й строки и k-ro столбца.

Соотношения между элементами неопределенных матриц

проводимостей и сопротивлений многополюсника

Основные уравнения произвольного линейного неавтономного мно­гополюсника в формах Y и Z описывают зависимости между токами и напряжениями на зажимах этого многополюсника. Очевидно, что коэффициенты основных уравнений (Y и Z параметры многополюс­ника) должны быть связаны между собой соотношениями, позволяю­щими найти элементы одной из неопределенных матриц многопо­люсника по известным элементам другой. Определить эти соотноше­ния путем сопоставления выражений для одноименных величин, на­пример токов или напряжений полюсов, полученных из уравнений (8.6) и (8.13), невозможно, поскольку матрицы Ъц и Y₍; являются особенными и уравнения (8.6) не могут быть разрешены относитель­но напряжений полюсов, а уравнения (8.13) — относительно токов внешних по отношению к многополюснику контуров. Однако, как было установлено ранее, укороченные матрицы сопротивлений и про­водимостей многополюсника не являются особенными и, следова­тельно, основные уравнения многополюсника, один из выводов ко­торого выбран в качестве общего или один из внешних по отношению к которому контуров является разомкнутым, могут быть разрешены относительно одноименных величин.

• ••••

Пример 8.8. Определим соотношения между Y- и Z-параметрами линейного неавтономного трехполюсника (рис. 8.9, а). Пусть неопределенная матрица про­водимостей этого трехполюсника известна

Itj-

Выберем любой из полюсов трехполюсника, например полюс 3 в качестве об­щего (рис. 8.9, б) и найдем соответствующую этому случаю укороченную матрицу проводимостей

111 Ги' L^i Ггг.

вид

К — У и 0₁₀ + К₁₂ U2₀; /₂ — У21 О_а + Уаа ^20*

Выразим токи полюсов трехполюсника 1_г, /₂ через токи внешних контуров hi, ha (рис- 8.9, в)

/х=/ц. /»= /#з. (8.20)

а напряжения полюсов трехполюсника относительно базисного Ui₀, t/₂₀ через напряжения между полюсами

Uio=Ui, 0п=—0₉. (8.21)

Подставляя соотношения (8.20), (8.21) в (8.19) и решая полученную систему уравнений

Ы = Уц й₃\

— ^33 ⁼ 2^21 ^1 — Х-ЪЪ

относительно U₃, переходим от основных уравнений трехполюсника с общим полюсом 3 (рис. 8.9, 6) к основным уравнениям трехполюсника с разомкнутым внешним контуром 2 (рис. 8.9, в):

0i = Vjj /ц / (Кц ija—У и У»х) + ^j.2 Isa/(\ji —^is ^ si) I

Оз = Yp. i'll/(У 11 iji-Ци ^i)+Zn W(Iii Yp-Yp Yjd

а)

Здесь 2 if — укороченная матрица сопротивлений трехполюсника, внешний контур 2 которого разомкнут:

у

L22

у у у у

Ln _22 Liz L& i

Дополняя укороченную матрицу сопротивлений второй строкой и вторым столбцом и вынося из матрицы общий для всех элементов множитель, находим неопределенную матрицу сопротивлений рассматриваемого трехполюсника:

Г Н»

\ -&1+: •L у*

hr

Y Y Y Y

L11 i_i2 i.21

^11 ^38

(8.23)

Как видно из выражений (8.22), (8.23), взаимные преобразования неопреде­ленных матриц проводимостей Yy и сопротивлений Zу многополюсника возможны

только в том случае, если укороченные матрицы проводимостей и сопротив­

лений не являются особенными.

Уравнения электрического равновесия цепей с многополюсными элементами

Уравнения электрического равновесия линейных цепей, содер­жащих неавтономные многополюсники, формируют с помощью пред­ложенных проф. В. П. Сигорским обобщенных методов узловых на­пряжений и контурных токов. Основные идеи обобщенного метода

узловых напряжений состоят в следующем. Если считать, что не­определенная матрица проводимостей трехполюсника известна

1 2 з

11

V

Y3i Y32 Уз

5)

Рис. 8.10. К обоснованию обобщенного метода узловых напря­жений

цепи и выборе в качестве базисного узла для отсчета напряжений внешних выводов трехполюсника базисного узла рассматриваемой цепи напряжения внешних выводов трехполюсника относительно базисного будут совпадать с узловыми напряжениями соответствую­щих узлов цепи, а токи внешних выводов трехполюсника смогут быть выражены через узловые напряжения исследуемой цепи:

k I S

.у.Л Г.

Uio

А.

Токи и напряжения цепи не изменятся, если вместо выводов трех­полюсника к узлам k, I и s подключить источники тока J_lt /₂ ^и Л* А ⁼ Л — Yj₁U_k q-\~Yi_Z U_l0 -|- F_1S й_в0;

— ^2 — Y21 U_h о + Yjz U_l0 -j- Yza U_s0; (8.25)

J3—I3 U_h0 -\-Y₃2 U_l0 -f- K₈₈ U_s0.

Рассматриваемая цепь содержит только идеализированные двух­полюсные элементы и для нее можно составить систему узловых

20

Y(«>

(8.26)

sO

mO

где m — q-— 1 — число независимых узлов цепи, а и jj₀—

матрица узловых проводимостей и матрица-столбец узловых токов цепи (рис. 8.10, б), которые соответственно равны:

У(11) У(12) ••• У (Ik) • •• У (II) •••• У(15) ... У (1т)

... У

У (si) У (s2) ... У (sk)

Yj,m\)Y^(m2) Y_(mk) ••• Y_(ml) ••• Y (ms) ... У (mm) Ji

’10

»tt>~

sO 3

' mO

Выражая токи источников тока J_x, J₂, Jз через узловые напря­жения цепи (8.25) и перенося соответствующие члены в левую часть уравнения (8.26), получаем