2. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника, основные тригонометрические тождества с выводом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом  С = 90 и острыми углами  А < 90,  B < 90.

Определение 1. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Определение 2. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

О пределение 3. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Определение 4. Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Основные тригонометрические тождества.

1).

Доказательство:

2).

Доказательство:

3). Доказательство:

4)

Доказательство:

Билет № 9.

1. Определение прямоугольного треугольника. Сформулировать и доказать признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Определение 1. Треугольник, один из углов которого прямой (равный 90), называется прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1. Если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай первого признака равенства треугольников).

2. Если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

─ следствие из второго признака равенства треугольников.

4. Если катет и противолежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны (частный случай второго признака равенства треугольников).

Доказывается аналогично предыдущей теореме ─ следствие из II признака равенства треугольников.

5. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Д оказательство:

1. Так как С = С₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина С совместится с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА₁ и СВ₁.

2. Так как СА = С₁А₁, то вершина А совместится с вершиной А₁. Остается доказать, что совместятся точки В и В₁.

3. Предположим, что точки В и В₁ не совместятся. Рассмотрим Δ А₁В₁В₂ – равнобедренный, так как АВ = A₁B₁  А₁В₂ = A₁B₁. Тогда A₁B₁В₂ = A₁В₂B₁. Заметим, что A₁B₁С₁ - острый угол прямоугольного треугольника А₁В₁С₁, а A₁B₁В₂, смежный с ним, - тупой. Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, то это невозможно. Значит, точки В и В₁ совместятся.

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Д оказательство:

1). Рассмотрим АBС и ВСD.

2). Рассмотрим АDС и ВСD.

АDСВСD (по 1 признаку).

3). Из подобия треугольников:

4). Рассмотрим АВС и ВСD.

АВСВСD

5). Аналогично из подобия АВС и АВD:

Следствие 1. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в раз больше катета.

Доказательство: Согласно теореме Пифагора

Следствие 2. Диагональ квадрата в раз больше его стороны.

Доказательство: Диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника и является гипотенузой каждого из них. См. следствие 1.

Следствие 3. Квадрат перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр, равен произведению отрезков, на которые этот перпендикуляр делит диаметр.

Д оказательство:

1). Рассмотрим АBС и ВСD.

2). Рассмотрим АDС и ВСD.

АDСВСD.

3). Из подобия треугольников:

4). Рассмотрим АВС и ВСD.

АВСВСD