2. Определение окружности. Формула для вычисления длины окружности (без вывода). Вывод формулы длины дуги окружности. Теоремы о дугах и хордах.

О пределение 1. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из множества точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. О – центр окружности.

Определение 2. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также длина этого отрезка. ОС, ОА, ОВ – радиусы окружности.

Определение 3. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. PQ, АВ – хорды.

Определение 4. Наибольшая хорда окружности, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Центр окружности является серединой диаметра. Диаметр равен двум радиусам. АВ – диаметр.

Определение 5. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.

Ц ентральному углу АОВ соответствует АKВ.

Дугу окружности можно измерить в градусах. Если дуга АВ меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОВ. Если дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера равна 360° − АОВ.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.

Определение 6. Дугой окружности называется часть окружности, ограниченная двумя точками окружности. АС, АP, PQ, ВQ, BC – дуги окружности.

Формула длины окружности. Длина С окружности радиусом R выражается формулой С = 2R.

Отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное для всех окружностей.

Формула длины дуги окружности. Длина дуги окружности определяется по формуле

Так как длина окружности С = 2R, то длина дуги в 1° а длина дуги в °

Точки А и В разбивают окружность на дуги: АКВ и АСВ. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Теоремы о хордах и дугах.

Т еорема 1. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра.

Дано: О – окружность; АВ и CD – хорды;

OC  АВ; OF  DE.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим точки в и е с центром окружности.

ОЕ = ОВ = R.

2. Рассмотрим треугольники сов и eof.

3. BC =EF  AB=ED.

Теорема 2 (обратная). Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от центра.

Теорема 3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.

Дано: О – окружность; АОВ =DОЕ.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорд АВ и DE с центром окружности. OA = OB = ОЕ = ОD = R.

2. Рассмотрим треугольники aов и eod.

Билет № 10.

1. Определение параллелограмма и его свойства (с доказательством).

Определение 1. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.

У каждого параллелограмма четыре вершины, четыре стороны, четыре угла. Две стороны, имеющие общие концы, называются смежными. У каждого параллелограмма две диагонали – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Свойства параллелограмма.

С войство 1. У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы попарно равны.

Доказательство: Проведем диагональ АС. АС – общая;

ВАС = АСD (внутренние накрест лежащие при АВ II BC и секущей АС);

ВСА = САD (внутренние накрест лежащие при АD II BC и секущей АС);

 АВС = АDС (по 2 признаку).

АВ = CD; BC = AD; В = D.

А = ВАС + СAD; С = АСB + АСD;  А = С.

Свойство 2. У параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

Доказательство:

В + А =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей АB).

B + С =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей BC).

D + C =180° (внутренние односторонние при ВС II AD и секущей CD).

 A + D =180° (внутренние односторонние при AВ II CD и секущей AD).

Свойство 3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство: Проведем диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке О.

АВ = СD (по первому св-ву параллелограмма);

AВO = ODC (внутренние накрест лежащие при АВ II CD и секущей BD);

ВАO = OСD (внутренние накрест лежащие при АB II CD и секущей АС);

 АВO = ODС (по 2 признаку).

ВO = OD; AO = OC.

2. Построение биссектрисы угла. Доказательство свойства биссектрисы треугольника. Теорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника, на которые она делится точкой пересечения биссектрис.

О пределение 1. Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и проведенный из вершины до пересечения с противоположной стороной.

Построение биссектрисы данного угла: