2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Чтобы построить описанную окружность, достаточно:

1. Построить два серединных перпендикуляра к двум любым сторонам треугольника и найти точку их пересечения – центр описанной окружности.

2. Соединить полученную точку – центр описанной окружности – с любой из вершин треугольника. Длина полученного отрезка – радиус описанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность.

Центр описанной окружности лежит: в остроугольном треугольнике – внутри него; в прямоугольном треугольнике – на середине гипотенузы; в тупоугольном треугольнике – вне окружности.

Чтобы построить вписанную окружность, достаточно:

1. Построить биссектрисы любых двух углов треугольника и найти точку их пересечения – центр вписанной окружности.

2. Из полученной точки – центра вписанной окружности – опустить перпендикуляр на любую из сторон треугольника. Длина полученного отрезка – радиус вписанной окружности.

3. Полученным радиусом построить окружность из полученного центра.

Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Билет № 16.

1. Определение подобных треугольников. Сформулировать лемму об отношении площадей подобных треугольников. Доказательство первого признака подобия треугольников.

В повседневной жизни часто встречаются тела и фигуры одинаковой формы, но разных размеров. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

Рассмотрим подобные треугольники АВС и А₁В₁С₁. У них углы соответственно равны и называются соответственными: А = А₁; В = В₁; С = С₁. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными: АВ и А₁В₁; ВС и В₁С₁; АС и А₁С₁.

Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Иначе:

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Лемма об отношении площадей подобных треугольников. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

1). АВС А₁В₁С₁ 

2). Определим площадь АВС:

3). Определим площадь А₁В₁С₁:

4). Найдем отношение площадей данных треугольников:

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

1). Чтобы доказать подобие треугольников, нужно доказать, что их соответственные углы попарно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2) Докажем равенство углов С и С₁:

3). Определим площадь АВС:

4). Определим площадь А₁В₁С₁:

5). Найдем отношение площадей данных треугольников:

6). По определению треугольники подобны: