1. Дополнительное построение:
а) На продолжении стороны АС отложим отрезок CD = BC.
б) Соединим точки B и D.
2. Рассмотрим вcd:
а) BC = CD (по построению)
BCD – равнобедренный
CBD = CDB (углы при основании).
б) АBD = ABC + CBD > CDB AD > AB.
3. AD = AC + CD AC + CD > AB.
4. AC = AD – CD AD – CD < AB.
Следствие
1.
Для любых точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, имеют место
неравенства:
Следствие 2. Во всяком многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех других сторон.
Следствие
3.
Если для трех точек А, В, С выполняется
равенство:
то эти точки лежат на одной прямой,
причем точка В лежит между точками
А и С.
Билет № 25.
1. Определение смежных и вертикальных углов. Доказательство теорем о свойстве смежных и вертикальных углов.
Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми, называются смежными.
Т
еорема.
Сумма смежных углов равна 180°.
Дано: АОС и ВОС – смежные.
Доказать:
Доказательство:
1)
-
развернутый.
2)
Луч ОС лежит между сторонами
АОВ. По аксиоме измерения углов:
3)
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Следствия:
1. Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.
Дано: АОС и ВОС – смежные; PNK и KND – смежные; АОС = PNK.
Доказать:
Доказательство:
1) АОС и ВОС – смежные
2) PNK и KND – смежные
2. Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
Дано:
АОС
– не развернутый. Доказать:
Доказательство:
1) Если АОС не развернутый, то, построив дополнительный к лучу ОА луч ОВ, получим ВОС – смежный с углом АОС.
2)
(по
свойству смежных углов)
что
и требовалось доказать.
3. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Дано:
АОС
– прямой. Доказать:
-
прямой.
Доказательство:
1)
-
по определению как прямой.
2) АОС и ВОС – смежные по свойству смежных углов.
3)
прямой,
что и требовалось доказать.
О
пределение.
Два угла называются вертикальными,
если стороны одного угла являются
дополнительными полупрямыми сторон
другого.
Теорема. Вертикальные углы равны.
Дано: АОD и ВОС – вертикальные.
Доказать:
Доказательство:
1) АОС и ВОС – смежные;
- по св-ву смежных углов;
2) АОD и АОС – смежные;
-
по св-ву смежных углов;
что и требовалось доказать.
2. Свойства равнобедренной трапеции.
Свойство 1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABСD – трапеция; BC II AD; AB = CD. Доказать: DAB = ADC.
Доказательство:
1. Дополнительное построение. Проведем: а) через точку В BEAD; б) через точку С CFAD.
2
.
Рассмотрим полученные треугольники
ABE
и CDF.
3. Из ABE = CFD EAB = FDC DAB = ADC.
Свойство
2.
Пусть BE
и CF
– высоты, опущенные на основание AD
равнобедренной трапеции ABCD.
Тогда
Дано: ABСD – трапеция; BC II AD; AB = CD; BEAD; CFAD.
Доказать:
Д
оказательство:
1. Рассмотрим треугольники ABE и CDF.
2.
3. BCFE – прямоугольник FE = BC. Тогда
С
войство
3.
Диагонали равнобедренной трапеции
равны.
Дано: ABСD – трапеция; BC II AD; AB = CD;
AC и BD - диагонали.
Доказать: AC = BD.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ABD и ACD.
Билет № 26.