1). Циркулем из вершины угла а проводим дугу произвольного радиуса до пересечения со сторонами угла в точках в и с.

2). Из точек в и с проводим дуги одинакового радиуса до пересечения в точке d.

3). Из точки a через точку d проводим луч ad.

Докажем, что CAD = BAD.

В ACD и ABD:

AD – общая;

AB = AC – по построению;

CD = BD – по построению.

ACD = ABD (по третьему признаку).

CAD = BAD.

AD – биссектриса.

Теорема о биссектрисе угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.

Д оказательство 1 (по Атанасяну):

1). Пусть BD – биссектриса угла В в АBС. Она разбивает треугольник на два треугольника: АBD и BСD.

2). По теореме синусов из АBD:

3). По теореме синусов из BСD:

4). АDB + CDB = 180° - смежные 

Следствие 1. Пусть BD – биссектриса угла В треугольника АВС. Тогда отрезки AD и CD находятся по формулам:

Пусть АС = b, AB = c, BC = a. Если AD = x, то DC = b – x. Составим пропорцию:

Доказательство 2 (по Киселеву):

1 ). Дополнительное построение. Построим CE II BD и продлим АВ до пересечения с СЕ в точке Е.

2). ABD = AEC (соответственные при BD II CE и секущей АЕ).

DBC = BCE (внутренние накрест лежащие при BD II CE и секущей BC).

ABD = DBC (по определению биссектрисы).

Тогда BCЕ = BЕC  BСЕ – равнобедренный, ВС = ВЕ.

3). По следствию из первого признака подобия треугольников, так как BD II CE, то АBDАЕС:

Доказательство 3 (по Киселеву):

1). Дополнительное построение. Построим DE II CB и продлим АВ за точку В.

2). FBC = BED (соответственные при BC II ED и секущей АB).

EDB = DBC (внутренние накрест лежащие при BC II ED и секущей BD).

ABD = DBC (по определению биссектрисы).

Тогда BЕD = BDЕ  BЕD – равнобедренный, ВD = ВЕ.

3). По следствию из первого признака подобия треугольников, так как ЕD II ВC, то АЕDАВС:

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике. Если на сторонах АС и ВС треугольника АВС (или на их продолжениях) отмечены точки В₁ и А₁ так, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О, то отношение АО:ОА₁ выражается формулой:

Д оказательство:

1) Проведем через точку А₁ прямую, параллельную ВВ₁. Она пересекает прямую АС в точке D. Согласно обобщенной теореме Фалеса: Умножим и разделим правую часть равенства на В₁С, получим:

2) Согласно обобщенной теореме Фалеса:

3)

Т еорема об отношении отрезков биссектрисы треугольника. В треугольнике АВС биссектриса АА₁ угла А делится точкой пересечения биссектрис в отношении АО:ОА₁ = (b + c): a, где AB = c, BC = a, AC = b.

Доказательство:

1) По теореме о свойстве биссектрисы треугольника

2) Для нахождения отношения АО:ОА₁ воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках в треугольнике:

Билет № 11.