1) Cd не пересекает окружность,

2) Cd пересекает окружность.

При первом предположении построим какую-нибудь касательную C₁D₁ к окружности, не пересекающую отрезок CD. Тогда по необходимому условию для описанного четырехугольника ABC₁D₁ имеем: AB + C₁D₁ = BC₁ + AD₁.

Но так как BC₁ = BC − CC₁, AD₁ = AD − DD₁,

то AB + C₁D₁ = BC − CC₁ + AD − DD₁,

откуда C₁D₁ + CC₁ + DD₁ = BC + AD − AB.

Из условия AB + CD = BC + AD следует,

что BC + AD − AB = CD.

Следовательно, C₁D₁ +CC₁ +DD₁ =CD.

Оказалось, что в четырехугольнике CC₁D₁D одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично опровергается второе предположение. Теорема доказана.

Билет № 24.

1. Определение подобных многоугольников. Построение многоугольника, подобного данному. Теоремы об отношении периметров и площадей подобных многоугольников.

Определение подобных многоугольников. Два многоугольника называются подобными, если их углы одного из них соответственно равны углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.

Иначе:

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Теорема об отношении площадей подобных многоугольников. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Доказательство:

1). Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников.

Для доказательства этой теоремы возьмем внутри многоугольника ABCDE произвольную точку О и соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в нем сторон. Выберем один из них, например, AOB, и на сходственной стороне A₁B₁ другого многоугольника построим углы О₁А₁В₁ и О₁В₁А₁, соответственно равные углам ОАВ и ОВА. Точку пересечения О₁ соединим с прочими вершинами многоугольника А₁В₁С₁D₁E₁. Тогда и этот многоугольник разобьется на столько же треугольников. Докажем, что треугольники первого многоугольника соответственно подобны треугольникам второго многоугольника.

Из определения подобных многоугольников:

Из подобия треугольников АОВ и А₁О₁В₁:

Отсюда: и т. д.

2).

3).

Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов описанных окружностей или как квадраты радиусов вписанных окружностей.

Теорема об отношении периметров подобных многоугольников. Периметры подобных многоугольников относятся как коэффициент подобия.

Доказательство:

2. Неравенство треугольника.

Теорема 1 (о соотношении между сторонами и углами треугольника): В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Д ано: ∆АВС; AB > AC. Доказать:

Доказательство:

1. Отложим на стороне АВ отрезок AD = AC. AB > AD, точка D  AB. Следовательно, ACD - часть ACB и ACD < ACB.

2. ADC – внешний угол треугольника ∆BDC, поэтому ADC > B.

3. ∆ABC – равнобедренный по построению (AD = AC). Следовательно, ACD = ADC.

Теорема 2 (о соотношении между сторонами и углами треугольника): В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ∆АВС; Доказать: AB > AC.

Доказательство от противного:

1. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < AC.

2. В первом случае ∆АВС – равнобедренный  C = B.

3. Во втором случае C < B (против большей стороны лежит больший угол).

4. И то, и другое противоречит условию Следовательно, наше предположение неверно, AВ > AC.

Следствие 1: В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона.

Тупой угол больше острого. Следовательно, сторона, лежащая против тупого угла, больше стороны, лежащей против острого угла.

Следствие 2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Гипотенуза лежит против прямого угла, а катет – против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

Следствие 3: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, если в треугольнике две стороны равны, то треугольник равнобедренный.

Теорема о неравенстве треугольника: Во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности.

Дано: АВС: ВС = а; АВ = с; АС = b.

Доказать:

Д оказательство: