1. О свойствах гравитационного потенциала и гармонических функциях

Задача описания гравитационного поля небесного тела сводится к моделированию потенциала силы его притяжения в точках внешнего не занятого массами пространства. Напомним в этой связи, что вектор силы притяжения есть градиент скалярной потенциальной функции (потенциала) в точке , в которой мы намереваемся определить силу нютоновского притяжения некоторой массы:

. (1)

В наиболее общем виде потенциал притяжения (гравитационный потенциал) масс, заключенных в объеме , записывается следующим образом:

(2)

где есть функция объемной плотности координат текущей точки интегрирования , – расстояние от точки до точки .

Перечислим ранее доказанные свойства потенциала объемных масс [1]:

• потенциал (2) есть функция конечная и непрерывная во всем пространстве;

• первая производная потенциала есть функция конечная и непрерывная во всем пространстве;

• во внешнем пространстве, не занятом гравитирующими массами, потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

(3)

• во внутренней области потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

; (4)

• на бесконечности потенциал есть функция регулярная.

Удовлетворяющая уравнению Лапласа в области G функция называется гармонической в этой области. Если область G неограниченна, т.е. содержит бесконечно удаленную точку, дополнительно накладывается условие регулярности функции на бесконечности.

Перечислим некоторые замечательные свойства гармонических функций:

• гармоническая в G функция имеет там непрерывные производные всех порядков;

• производные гармонической в G функции гармоничны в той же области;

• гармоническая в G функция аналитична в той же области, т.е. может быть представлена там сходящимся рядом Тейлора.

Гармоничность потенциальной функции во внешнем пространстве, выражаемая формулой (3), служит основой для выбора той или иной формы её модельного описания, позволяющего вычислять приближенные значения функции , не зная закона распределения плотностной функции , т.е. не располагая информацией о внутреннем распределении масс в недрах исследуемого тела.

В основе теории гармонических функций лежат данные Д.Грином (1828) формулы преобразования объемных интегралов в интегралы по поверхности, наиболее употребительной среди которых является вторая формула Грина:

где n – направление внешней нормали к S. Обратим внимание на то, что присутствующие в формуле (5) функции и представляют собой функции, дважды дифференцируемые в и на S, где - объем, ограничиваемый замкнутой поверхностью S.

2. Фундаментальная формула Грина для потенциала объемных масс

Пусть в некоторой области 𝜏, ограниченной замкнутой поверхностью S, заданы дважды дифференцируемые функции U и V, для которых справедлива вторая формула Грина (5). Пусть далее r – расстояние от некоторой фиксированной точки P до текущей точки интегрирования M.

Рассмотрим различные варианты расположения точки P относительно объема 𝜏.

1. Точка P лежит вне 𝜏, т.е. P ∉ 𝜏.

Поскольку в этом случае и формула (5) принимает вид:

2. Точка P принадлежит объему 𝜏, т.е. P∈ 𝜏.

Это означает появление особенности в точке P , где при интегрировании по объему. Ограничим точку P сферой безопасности 𝛴 радиуса R, и применим формулу (5) к области , ограниченной поверхностями S и 𝛴 (рис.1).

P

.

Σ

R

𝜏

S

Рис.1. К выводу фундаментальной формулы Грина при внутреннем расположении точки P

Так как в

.

Для сферы 𝛴, очевидно, в связи с чем

.

Учитывая, что на сфере 𝛴 выполняется рассмотрим поведение при интегралов по 𝛴.

Тогда

3. Точка располагается на поверхности S, т.е. S.

В этом случае используется полусфера безопасности, что дает

Объединяя формулы (6), (7), (8), приходим к промежуточной сводке:

Заполним далее объем массами переменной плотности . Потенциал силы притяжения введенных масс на точку обозначим Преобразуем предыдущую сводку формул, учитывая, что внутри масс гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

(10)

Формула (10) носит название фундаментальной формулы Грина для потенциала объемных масс. Эта формула позволяет определить внешний потенциал исследуемого тела по значениям самого потенциала и его первой производной на ограничивающей тело поверхности (третья строка формулы). Очень важно, что в этом случае не требуется информация о распределении масс внутри тела. Внутренний потенциал тела (первая строка формулы), напротив, не может быть определен без данных о распределении масс.