7. Применение интегральных уравнений для решения краевых задач теории потенциала

Универсальным подходом к решению краевых задач теории потенциала является сведение их к соответствующим интегральным уравнениям, решение которых выполняется итеративными или численными методами. Иначе говоря, при заданных краевых (граничных) условиях применение интегральных уравнений оказывается наиболее действенным инструментом интегрирования уравнения Лапласа.

Рис.3. К выводу интегральных уравнений, соответствующих краевым залачам Дирихле и Нейманна

П

редположим, что на краевой поверхности задана некоторая непрерывная функция F координат. Напомним, что по условию краевой задачи Дирихле требуется найти такую гармоническую функцию , которая при подходе к принимала бы значения F (см. рис. 3).

Будем искать функцию в виде потенциала притяжения распределенного по поверхности двойного материального слоя неизвестной плотности ν

где угол – угол между направлением и направлением нормали к в точке (ниже также используется угол – угол между направлением и направлением нормали к в точке ).

Потенциал двойного слоя (21) на претерпевает скачок, который должен быть учтен для удовлетворения краевого условия задачи Дирихле. Известно, что при движении точки из внешней области (внешняя краевая задача) имеем:

а при движении из внутренней области (внутренняя краевая задача)

где

По условию задачи Дирихле

вследствие чего имеем для случая внешней задачи

а для внутренней задачи

Уравнения (22), (23) могут быть записаны в общем виде

где – числовой коэффициент. Значение искомой плотностной функции входит в подынтегральную функцию, вследствие чего уравнения вида (22), (23), (24) называются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. В нашем случае зависящее только от геометрии ядро этих уравнений имеет вид

Тогда случаю внешней задачи Дирихле соответствует , и уравнение (22), а внутренней задаче Дирихле соответствует и уравнение (23).

Для получения интегральных уравнений, соответствующих задаче Нейманна, построим интегральное уравнение, сопряженное (союзное) с уравнением задачи Дирихле. Ядро сопряженного уравнения строится по отношению к точке так, как ядро основного уравнения строилось по отношению к точке

где – угол между нормалью к в точке и отрезком прямой (см.рис.3). Будем искать функцию в виде потенциала притяжения распределенного по поверхности простого материального слоя неизвестной плотности тогда сопряженное к (24) интегральное уравнение будет иметь вид:

Для получения явного вида интегральных уравнений, соответствующих внутренней и внешней задачам Нейманна воспользуемся полученными ранее формулами для нормальных производных потенциала простого слоя, распределенного на поверхности

Тогда, складывая внешнюю нормальную производную со внутренней, получаем

Вычитание же этих производных дает

Интеграл в правой части заменим суммой производных:

откуда следует

Полученное равенство позволяет записать в явном виде интегральные уравнения для решения задачи Нейманна. В самом деле, краевое условие внутренней задачи Нейманна формулируется выражением

сравнивая которое с (26), замечаем, что в этом случае , а интегральное уравнение имеет вид:

Для внешней краевой задачи Нейманна имеем и уравнение

Исследование вопроса существования и единственности решений интегральных уравнений для произвольных краевых поверхностей осуществляется на основе применения известных теорем Фредгольма. Для практического решения интегральных уравнений чаще всего используются итеративные и численные методы.

Итеративный подход рассмотрим на примере решения уравнения (25). Представим искомую функцию плотности в виде ряда по степеням :

(29)

Подстановка этого ряда в исходное уравнение (25) позволяет приравнять слагаемые левой и правой его частей при одинаковых степенях :

Таким образом, первым приближением функции является функция -ым приближением является сумма первых членов ряда (29). Не вдаваясь в подробности анализа сходимости этого ряда, заметим, что она определяется не только формой поверхности , но и видом ядра интегрального уравнения.

Применение численных методов решения основывается на разбиении области на достаточно большое число N элементарных площадок Расстояние площадки от площадки обозначим , направление нормали к площадке обозначим . Тогда приближенное значение решения интегрального уравнения (24) краевой задачи Дирихле для площадки будет иметь вид:

Составив подобные равенства для всех площадок, получим систему линейных уравнений для определения значений плотности двойного слоя в каждой из площадок. Полученная полигональная функция используется далее для подстановки в формулу (21), с учетом применяемого численного метода разбиений области интегрирования S принимающую вид: