5. Решение задачи Дирихле для сферы. Интеграл Пуассона

При решении конкретных краевых задач определение функции Грина представляет собой сложную задачу, которая может быть легко решена лишь в малом числе случаев, соответствующих простой геометрии краевой поверхности. Так, например, дело обстоит в случае сферичности последней.

Р

ρ'

ρ

О

М

Рис.2. К выводу интеграла Пуассона

Внешнюю к сфере точку P (см. рис. 2) подвергнем инверсии (преобразованию Кельвина) во внутреннюю точку P', отстоящую от центра сферы на расстояние ρ', при этом выполняется равенство ρρ'= . Пользуясь обозначениями рисунка 2, запишем формулы косинусов:

Так как инверсия осуществляется по правилу отношения , то

Тогда , откуда следует Заметим, что это равенство выполняется, только если точка М располагается на сфере. В противном случае, когда радиус-вектор d точки М не равен R, имеем

При М∈ выберем функцию Грина в виде:

Определенная таким образом функция Грина гармонична во внешнем пространстве (за исключением точки P), регулярна на бесконечности и, как было показано выше, обращается в нуль на поверхности сферы радиуса Тогда в соответствии с (12) решение задачи Дирихле для сферы следует искать в виде:

Для вычисления производных по нормали в точке М∈ будем дифференцировать функцию Грина по радиусу :

Дифференцируя формулы косинусов, получим:

Подстановка полученных производных в выражение для нормальной производной функции Грина на сфере дает:

Тогда решением внешней задачи Дирихле оказывается интеграл Пуассона:

который позволяет найти значение функции в точке P внешнего пространства по заданным значениям , М∈ этой функции на поверхности сферы . Интеграл Пуассона, решающий внутреннюю задачу Дирихле для сферы отличается от (15) только знаком и имеет вид:

6. Решение внешней задачи Нейманна для сферы

Лемма: Если U(x,y,z) есть функция, гармоническая в 𝜏, то и функция , где также гармонична в той же области 𝜏.

Для доказательства леммы вычислим производную функции U(x,y,z) по направлению :

Тогда . Непосредственное дифференцирование полученной производной дает:

откуда имеем

Если в 𝜏, то и в 𝜏, что и доказывает сформулированную выше лемму.

Как уже указывалось выше, в задаче Нейманна требуется найти гармоническую вне сферы и регулярную на бесконечности функцию , нормальная производная которой принимала бы на заданную совокупность значений:

Для решения внешней задачи применим интеграл Пуассона (1) к функции , где – радиус-вектор точки внешнего по отношению к пространства, а - искомая функция. Согласно доказанной выше лемме, функция гармонична в той же области, что и

Поскольку на и , перепишем

Умножим слева и справа на и проинтегрируем от до ∞:

Сравнение формулы (18) с формулой (13) показывает, что функция Грина (Нейманна), решающая внешнюю задачу Нейманна для сферы, имеет вид:

Так как в согласии с формулой косинусов (см. рис. 2)

то

Это означает, что

Рассмотрим далее неопределенный интеграл

в котором, пользуясь соотношением инверсии , выполним замену переменной . Тогда

Воспользуемся далее табличным интегралом:

В нашем случае

откуда, возвращаясь к переменной , имеем:

Подстановка в (19) дает:

Вследствие того, что

, а

имеем:

Тогда

(20)

Формула (20), в ряде источников называемая формулой Бьеркнесса, позволяет вычислить значение функции и на самой поверхности сферы. Для этого достаточно положить

что дает: