Сферические функции
Определение: Решающие уравнение Лапласа и одновременно однородные многочлены, выраженные в сферических координатах, называются шаровыми или объемными сферическими функциями.
Многочлен
степени n
называется однородным, если для
произвольного
имеет
место равенство:
В сферических координатах однородный многочлен запишется так:
Для того, чтобы однородный полином являлся объемной сферической функцией, он должен удовлетворять уравнению Лапласа.
Запишем уравнение Лапласа (3) в сферических координатах:
Вывод этого уравнения можно найти, например, в монографии [2, стр.165]. Уравнение Лапласа представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Решение его будем искать, разделив переменные, в виде:
(31)
Подстановка (31) в уравнение Лапласа приводит последнее к виду
Полученное уравнение, очевидно, можно разбить на два дифференциальных уравнения второго порядка:
где
k
является константой. Решение первого
уравнения будем искать в форме
,
подстановка
которого в (32) приводит к характеристическому
уравнению
k
= 0. Тогда
решения однородного дифференциального
уравнения второго порядка (32) имеют вид:
где
и
- произвольные постоянные. Положим k
=
где
-
целое положительное число. Тогда
решениями первого из уравнений
служат
функции
и
(33)
что легко проверяется прямой подстановкой.
Для
отыскания решений второго уравнения
искомую функцию
представим
в виде произведения двух функций:
Можно показать, что входящие в функции имеют явный вид [1]:
(34)
(35)
В формулах (33)-(35) приняты следующие обозначения:
А,В,С,D – произвольные постоянные числовые коэффициенты,
n, m – целочисленные индексы,
– присоединенные
функции Лежандра степени n
порядка
m,
представляющие
собой полиномы степени n
по
степеням аргумента
.
Если
m=0,
присоединенные
функции Лежандра (нулевого порядка)
называют полиномами Лежандра и обозначают
.
Присоединенные
функции Лежандра могут быть выражены
через полиномы Лежандра следующей
формулой:
(36)
Так
как
и
при
, каждому полиному Лежандра степени n
соответствуют
n
присоединенных
функций
порядков
m
= 1, 2, 3, … n.
Приведем
в явном виде формулы для вычисления
полиномов и присоединенных функций
Лежандра начальных значений индекса
степени n:
и
т.д.
и
т.д.
Далее запишем полезную и удобную формулу, применяемую для вычисления как полиномов Лежандра, так и присоединенных функций Лежандра:
где
принимает
значения
или
в зависимости от того, какое из этих
двух чисел целое.
Таким образом, решениями уравнения Лапласа, записанного в сферических координатах, являются однородные полиномы
(38)
которые
принято называть объемными
сферическими (или шаровыми)
функциями. Зависящие только от угловых
координат функции
называют
поверхностными
сферическими
функциями (игреками Лапласа). Нетрудно
видеть, что в простейших случаях
элементарные поверхностные сферические
функции
степени
n
имеют вид
Заметим также, что, когда мы имеем дело с линейным дифференциальным уравнением и знаем некоторые его решения, то линейная комбинация этих решений также является решением данного уравнения. Поэтому можно утверждать, что функции
(39)
(40)
где
также являются решениями уравнения Лапласа, т.е. представляют собой гармонические функции. Добавим, что функции вида (39) используются при решении внутренних задач теории потенциала, а вида (40) – внешних задач.