9. Понятие ортогональности сферических функций

Рассмотрим бесконечномерное множество функций определенных на отрезке , и на этом функциональном множестве введем скалярное произведение его элементов:

(41)

При условии конечности интегралов (41) множество функций

представляет собой бесконечномерное пространство интегрируемых с квадратом функций. Две различные функции по определению называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. для ортогональных функций имеем

В частности, несложно показать прямым интегрированием по частям, что полиномы Лежандра различных степеней, так же как и присоединенные функции Лежандра различных степеней, но одного порядка ортогональны на отрезке [-1,+1], т.е.

Установим далее основное свойство введенных выше сферических функций. Пусть суть объемные сферические функции степеней n и m соответственно. Поскольку эти функции по определению гармонические, для них справедлива вторая формула Грина, применительно к нашему случаю записываемая в виде:

Где S – граница области гармоничности. Выберем в качестве S сферу единичного радиуса. Тогда, учитывая, что , имеем:

Последнее равенство означает, что сферические функции различных степеней ортогональны на единичной сфере. Можно также доказать полноту системы сферических функций. Ортогональность и полнота системы позволяют выбрать бесконечномерную систему сферических функций в качестве бесконечномерного функционального базиса для представления некоторой заданной на сфере функции в виде линейной комбинации функций базисной системы. Заметим, что такого рода представление аналогично тому, как в трехмерном пространстве векторов мы для описания некоторого вектора используем линейную комбинацию трех векторов заранее установленного векторного базиса или в одномерном пространстве применяем ортогональную и полную систему тригонометрических функций для представления сложных экспериментальных кривых рядом Фурье.

10. Разложение по системе сферических функций

Ортогональность и полнота системы сферических функций позволяют утверждать, что любую дважды дифференцируемую заданную на сфере функцию можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям вида

Коэффициенты ряда (42) определяются по заданным на сфере значениям функции . В частности,

(43)

Для получения первой из формул (43) ряд (42) необходимо умножить слева и справа на , для получения второй – на , для получения третьей – на , а после умножения проинтегрировать слева и справа по в пределах . Следующим шагом должно стать умножение получившихся в каждом случае соотношений слева и справа на и последующее их интегрирование по переменной в пределах [-1,+1]. Благодаря ортогональности присоединенных функций Лежандра различных степеней, приходим к формулам (43), позволяющим вычислять коэффициенты ряда (42) по заданным на сфере значениям функции В случае дискретного задания функции в отдельных точках сферы, интегралы в (43) должны быть заменены конечными суммами.