Решение краевых задач с помощью функции Грина
А) Решение внешней задачи Дирихле.
Согласно фундаментальной формуле Грина для потенциала объемных масс (9) во внешней точке P имеем выражение для потенциала притяжения тела:
где
под
понимается
расстояние от внешней точки P
до элемента
Применение
этой формулы для решения задачи Дирихле
затруднено тем, что в ней, помимо
известной на поверхности
функции
,
присутствует
ее нормальная производная. Попытаемся
исключить ее, для чего введем функцию
H,
по определению гармоническую во всем
внешнем пространстве, в том числе и в
точке P,
и регулярную на бесконечности. Применим
к гармоническим во всем внешнем
пространстве функциям
и
H
вторую формулу Грина (5):
а затем сложим ее с предыдущей формулой:
Обозначая
приходим
к равенству
Для
исключения нормальной производной
наложим условие
пусть
на поверхности
функция
т.е.
.
Заметим, что функция
не
может быть равной
и
во всем внешнем пространстве, ибо в этом
случае она потеряет гармоничность в
точке P,
что противоречит условию. Тогда первое
слагаемое подынтегральной функции в
(11) обращается в нуль, и мы получаем
искомое решение задачи Дирихле в виде:
Функция
называется
функцией Грина. Перечислим свойства
функции Грина, решающей внешнюю задачу
Дирихле:
На краевой поверхности функция Грина равна нулю, т.е. ;
Вне поверхности функция Грина гармонична всюду за исключением точки P, причем, нарушение гармоничности в P обусловлено поведением слагаемого
(а
не
);Функция Грина на бесконечности регулярна.
Б) Решение внешней задачи Нейманна.
Воспользуемся
выведенной выше формулой (11), в которой
теперь необходимо исключить второе
слагаемое подынтегральной функции,
содержащее неизвестные значения искомой
функции
на
краевой поверхности
,
оставив
только заданные на
по условию задачи Нейманна значения
нормальной производной
.
Для
этого необходимо наложить очевидное
условие на функцию Грина
,
решающую
задачу Нейманна и потому часто называемую
функцией Нейманна,
.
Второе
и третье условия остаются теми же, что
и для функции Грина, решающей внешнюю
задачу Дирихле. При этом решением задачи
Нейманна будет функция
Заметим, что внутренняя задача Нейманна может быть решена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Единственность решения внешней задачи обеспечивается условием стремления искомой функции к нулю при удалении точки P в бесконечность.
В) Решение внешней смешанной краевой задачи.
Решение
задачи будем искать, добавляя и
одновременно вычитая из подынтегрального
выражения формулы (11) величину
:
Остается перечислить свойства функции Грина , решающей внешнюю смешанную краевую задачу:
На краевой поверхности функция Грина удовлетворяет условию
;Вне поверхности функция Грина гармонична всюду за исключением точки P, причем, нарушение гармоничности в P обусловлено поведением слагаемого (а не );
Функция Грина на бесконечности регулярна.
Само же решение третьей краевой задачи будет при этом иметь вид:
