Вычисление ранга матрицы с помощью миноров

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:   0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) Перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) Умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) Прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

5 Распределение сгруппированных частот применяется при большом

количестве оценок (100 и более). Оценки группируются по признакам и каждая

такая группа называется разрядом оценок. В случае полного поглощения

этими группами всех данных, мы говорим о распределении сгруппированных частот.

5 Построение распределения сгруппированных частот

Оценки	Интервал	Подсчет	Частота
90 95 51 112	110-114	1	1
66 78 109 62	105-109	111	3
106 70 89 91	100-104	11	2
84 47 58 93	95-99	1111	4
105 95 59 84	90-94	111	3
83 100 72	85-89	1	1
104 69 74	80-89	111111	6
82 44 75	75-79	1111	4
97 80 81	70-74	1111	4
97 75 71	65-69	111	3
59 75 68	60-64	1	1
	55-59	111	3
	50-54	1	1
	45-49	1	1
	44-45	1	1

Предварительно образовывать не менее 12 и более 15. Меньше 12 искажает

результат, более 15 затрудняет работу с таблицей.

1) Определяем размах – разницу между максимальной и минимальной оценкой (112-

44=69)

2) Выбор интервала разряда: 69:12=5,75

Определяем с уменьшением до 5: 69:15=4,6

3) Определение границ раздела. Необходимо образовать достаточное количество

разрядов, чтобы не потерять самую маленькую и самую большую оценки, поэтому

табулирование начнем с величины кратной интервалу. Ближайшее кратное 5 ниже

нижней оценки – это 40. И делим на разряды до тех пор, пока не будет охвачена

самая высокая оценка. Если необходимо сравнить 2 и более выборки, их

помещают в такую же таблицу.

6. Квантили. Его частные случаи.

Квантиль – это точка на числовой прямой, которая делит совокупность исходных наблюдений на две части с известными пропорциями в каждой из частей. Показатель одной из пропорций обычно записывается при обозначении квантили в качестве индекса справа внизу и называется уровнем или порядком. В общем виде записывается следующим образом: Кр читается квантиль уровня (порядка); показатель от 0 до 1. Например, К0,2. Пусть имеется квантиль уровня 0,2. Характеризует левую часть пропорции исходных наблюдений.

Квантиль – это общее понятие. Частными случаями квантиля являются: квартили; децили; процентили. Квартиль делит исходную совокупность на две части, каждая из которых пропорциональна одной или нескольким четвертым частям. Обычно рассматривают 3 квартиля: Q1, Q2,

Квантили – это способ описать группу измерений. Квантиль – это общее

понятие.

Квантиль – точка на числовой шкале, которая делит совокупность

наблюдений на группы с соответствующими пропорциями в каждой из них.

Квартиль – делит наблюдения на 4 группы (Q)

Дециль – делит наблюдения на 10 групп (D)

Квинтель – делит наблюдения на 5 групп (К)

Процентиль – делит наблюдения на 100 групп (Р)