17 Среднее, медиана и мода объединенных групп.

Мы можем знать средние, медианы и моды для трех разных классов школы, и необходимо найти те же характеристики для объединения всех трех классов. В отношении среднего все просто, но для определения медианы и моды приходится вернуться к исходным данным и выполнить новые вычисления. Пусть средние и числа учащихся для трех классов А, В и С будут: Общий итог п по всем трем классам п = п_А + п_В + п_С = 82. Среднее объединенной группы есть просто сумма всех 82 значений, деленная на 82. Сумма 24 значений класса А равна , ибо среднее – это сумма, деленная на число значений, т. е. .  14,2 Аналогично для групп В и С суммы составляют соответственно 30 = 426,0  10,8 = 302,4. 285,6 + 426,0 + 302,4 = 1014,0. Если мы объединими 28  все 82 значения и просуммируем их, то также получим 1014,0. Таким образом, общее среднее всех трех классов равно 1014,0/82 = 12,4. Символически среднее объединенной группы есть (4.5) Попробуйте самостоятельно вывести формулу для среднего 4 групп, когда известны только 4 средних и число элементов в группах. Обратите внимание на то, что если каждая группа имеет одно и то же число элементов п_А + п_В + п_С = п, то уравнение (4.5) примет вид . (4.6) Разумеется, это справедливо в случае объединения любого числа средних для групп равного объема. Однако попытка определения медианы или моды комбинации групп выдвигает несколько иные вопросы. Допустим, нам известно, что в группе А есть 6 значений, мода равна 17, а в группе В также 6 значений с модой 19. Какова мода общей группы, объединяющей А и В? Может быть, вы думаете, что она равна 18 = (17 + 19)/2? Если так, то вы можете ошибиться, поскольку группы А и В, возможно, имеют следующий вид:

А	В
15	15
15	15
17	17
17	19
17	19
18	19

Когда мы объединим А и В, оценка 15 попадется 4 раза и станет модой общей группы. Тем не менее неизвестно, что могло бы быть в том случае, когда нам известны только моды А и В в отдельности. Как для моды, так и для медианы, чтобы оценить эти меры, необходимо иметь исходные данные.

18 Выбор меры центральной тенденции

В статистике меры центральной тенденции служат для локализации множества значений вокруг одного единственного числа. При существующем многообразии мер центральной тенденции окончательный выбор меры всегда остается за исследователем.

Выбор меры центральной тенденции

· В малых группах мода очень нестабильна;

· На медиану не влияет величины очень больших и очень малых значений;

· На величину среднего влияет каждое значение;

· Некоторые множества данных не имеют меры центральной тенденции. Такая

ситуация близка к бимодальной гистограмме или U-образной;

· Центральная тенденция групп, содержащая крайние значения наилучшим

образом представляется в том случае, если гистограмма унимодальна;

· Если гистограмма симметрична и унимодальна, то средняя мода и

медиана совпадают.