5.4. Дисперсия альтернативного признака

Если показатель может принимать только два взаимно исключающих значения, то такая вариация называется альтернативной. Наличие признака у единицы совокупности обозначают 1, отсутствие – 0. Долю единиц совокупности, обладающих признаком, обозначают p, а не обладающих – q, причем .

Средняя величина определяется как

.

Дисперсия варьирующих признаков определяется следующим образом

.

Максимальное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. В этом случае одна половина единиц совокупности обладает данным признаком – p = 0,5, а другая нет – q = 0,5.

Пример 5.1. На 10000 родившихся приходится 5500 мальчиков и 4500 девочек, тогда , . Дисперсия альтернативного признака

.

5.5. Показатели формы распределения

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). Число наблюдений, по которому строится эмпирическое распределение, обычно невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Поэтому эмпирические данные в определенной степени связаны со случайными ошибками наблюдения, величина которых неизвестна. С увеличением числа наблюдений и одновременным уменьшением величины интервала зигзаги полигона начинают сглаживаться, и в пределе мы приходим к плавной кривой, которая называется кривой распределения.

Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, т.е. то распределение, которое получилось бы при полном погашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность.

В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы.

Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше – чем левая, рис. 5.1). При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение: . Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии .

Рис. 5.1. Асимметричные ряды распределения:

1 – с правосторонней асимметрией; 2 – с левосторонней асимметрией

Наиболее точным и распространенным является показатель, основанный на определении центрального момента третьего порядка (в симметричном распределении его величина равна нулю):

,

где – центральный момент третьего порядка:

.

Применение этого показателя дает возможность не только определить степень асимметрии, но и ответить на вопрос о наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки, которая зависит от объема наблюдений и рассчитывается по формуле , где n – число наблюдений.

Если отношение , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если отношение , асимметрия несущественна.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Наиболее точным является показатель, основанный на использовании центрального момента четвертого порядка:

,

где – центральный момент четвертого порядка:

а)

.

б)

Островершинное распределение

Плосковершинное распределение

Кривая нормального распределения

Кривая нормального распределения

Рис. 5.2. Ряды распределения с положительным (a)

и отрицательным (б) эксцессом

На рис. 5.2 представлены два распределения: одно – островершинное (величина эксцесса положительная), второе – плосковершинное (величина эксцесса отрицательная). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Эксцесс может быть положительным и отрицательным. У высоковершинных распределений показатель эксцесса имеет положительный знак (+), а у низковершинных – отрицательный знак (–). Предельным значением отрицательного эксцесса является значение  = –2, величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

В нормальном распределении отношение  = 3. Следовательно, для нормального закона = 0.

Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле

,

где п – число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения.