5.8. Оцінка точності мереж лінійно-кутової тріангуляції

Мережі лінійно-кутової тріангуляції, коли в фігурах вимірюються всі кути і всі сторони, мають дуже багато умовних рівнянь. Наприклад, у трикутнику з виміряними кутами й сторонами виникає три умовних рівняння. У геоде- зичному чотирикутнику, в якому виміряно 6 ліній і 8 кутів, буде 9 умовних рівнянь. У цьому легко переконатися, якщо по­будувати мережу за виміряними лініями. Усі виміряні кути при цьому бу­дуть надмірними вимірюваннями. Виводити формули, за якими визначають середні квадратичні похибки елементів лінійно-кутової трі­ангуляції, досить складно. Як завжди, в подібних випадках завдання спрощують. Наприклад, вважають, що мережа складається з правильних фігур (рівносторонніх трикутників, геодезичних квадратів, ромбів, пря­мокутників). Вдаються і до інших прийомів. Викладемо один з них, по­казавши, як виводять наближені формули, за якими оцінюють мережу лінійно-кутової тріангуляції.

Нехай який-небудь елемент мережі лінійно-кутової тріангуляції, знайдений за результатами обробки трилатерації, становить х₁, його се­редня квадратична похибка т₁, вага - . Той самий елемент, обчи­слений за даними тріангуляції, відповідно має такі характеристики:х₂, т₂, . Видно, що значення цього елемента, одержане з обробки мережі лінійно-кутової тріангуляції, можна розглядати як середньовагову величину

середня квадратична похибка якої складає

(5.42)

де - помилка одиниці ваги.

Для визначення середньої квадратичної помилки дирекційного кута віддаленої сполучної сторони ряду рівносторонніх трикутників лінійно-кутової тріангуляції застосовуємо формулу (5.42). Для цього візьмемо формулу (3.5) з тріангуляції і (5.28) з трилатерації. Маємо:

Отже, вважаючи, що , за формулою (5.42) знаходимо:

(5.43)

Формула (5.43) практично збігається з аналогічною формулою, одержаною звичним способом з урахуванням умовних рівнянь, які виникають у мережі. Можна одержати й інші формули, які подаємо нижче без виведення:

(5.44)

( 5.45)

(5.46)

( 5.47)

де - вага дирекційного кута сполучної сторони, безпосередньо сполучної сторони, поперечного і поз-довжнього зміщення ряду рівносторонніх трикутників з вимі- ряними кутами і сторонами; s - довжина сторони; п - число трикутників.

Найвигідніша форма трикутника в лінійно-кутовій тріангуляції. Якщо в довільному трикутнику виміряно довжини сторін і кути 1,2,3, то в ньому виникають такі умовні рівняння:

де (1),(2), (3) - поправки в кути в радіанах; - поправки в довжини сторін; W₁, W₂,W₃ - ­вільні члени, наприклад

Перше рівняння - звичайне умовне рівняння фігури в трі- ангуляції. Інші два рівняння одержано на основі теореми синусів і розкладання в ряди виразів sin[1 + (1)] та ін.

За найвигіднішу вважаємо таку форму трикутника, при якій від­носні похибки вирівняних сторін s₂ і s₃, визначених через сторону s₁ і відповідні кути, будуть однаковими і най- меншими.

За формулою (5.2) неважко знайти вагу сторін s₂ i s₃. Наводимо вагові функції сторін і остаточні формули шуканої ваги:

(5.48)

(5.49)

При цьому вважалося, що кутові вимірювання в радіанах і відносні лінійні вимірювання рівноточні, тобто

Тепер легко знайти відносні похибки сторін. Якщо їх прирівняти, то одержимо R₁=R₂ і трикутник буде рівно-бедрений. Позначаючи в ньому рівні кути через β, після нескладних перетворень з формули (5.48) або (5.49) одержимо функцію

похідна якої

Звідси критична рівняння для екстремуму функції F (β) має ви­гляд:

Легко показати, що F'(70°) < 0, F'(74°) > 0, тобто при β=72°24' ми дійсно маємо мінімум функції. Отже, най- вигіднішою формою лінійно-кутової тріангуляції є рівно- бедрений трикутник, однакові кути яко­го становлять 72° 24'. Про застосування такого трикутника йшлося раніше. У тако-му трикутнику вирівняні дирекційні кути сторін s₂ і s₃ визначаються з найбільшою похибкою, тобто він придатний для пе­редачі довжин ліній, а не дирекційних кутів.

Ряд з геодезичних квадратів. Користуючись формулою (5.42), визначимо середню квадратичну похибку дирекційного кута віддаленої сторони ряду геодезичних квадратів лінійно-кутової тріангуляції. За формулами (5.32) і , одержаними раніше, знаходимо, що

Отже, вважаючи, що , приходимо до такого ре­зультату:

(5.50)

де s - довжина сторони квадрата; п - число квадратів у ряді лінійно-кутової тріангуляції.

Ряд з центральних систем. Нехай мережа тріангуляції складається з двох рядів рівносторонніх трикутників (або одного ряду центральних систем), у яких виміряно всі кути і довжини сторін. Якщо позначити в k-му трикутнику проміжну сторону через а_k сполучні сторони - че­рез b_k-1 і b_k, а відповідні їм кути - через Зk-1, 3k-2, 3k, то в дано­му ряді центральних систем виникає 4N+ 2 умовних рівняння фігур:

8N + 4 синусних умовних рівнянь:

N умовних рівнянь горизонту:

де k - номер трикутника у верхньому ряді; N - число центральних систем; величини в дужках означають невідомі поправки в кути (у нижньому ряді трикутників кути позначають тими самими числами, що й у верхньому, але тільки зі штрихами) і в довжини сторін; W_k- відомі вільні члени.

Поправки в кути, виражені в радіанах, і відносні поправки в довжини сторін мають для даного класу тріангуляції той самий порядок малості. Тому кутові вимірювання в радіанах і відносні лінійні вважа­тимемо рівноточними.

Вагові функції дирекційного кута сполучної сторони, поперечного, і поздовжнього зміщень запишемо так:

де s- довжина сторони рівностороннього трикутника; n – чис- ло три­кутників у верхньому або нижньому ряді.

Як можна показати, формули, за якими визначають вирівняну вагу дирекційного кута віддаленої сполучної сторони, поперечного і поз­довжнього зміщень, мають такий вигляд:

( 5.51)

;

(5.52)

(5.53)

Проте, замість того щоб визначити середні квадратичні похибки координат віддалених пунктів геодезичної мережі, найчастіше визна­чають поздовжнє й поперечне зміщення діагоналі тріангуляційного ряду. Останні було введено для того, щоб спростити оцінку точності координат пунктів геодезичної мережі. Вагові функції координат утворюються набагато складніше і мають громіздкий вигляд. За величи­нами поздовжнього і поперечного зміщень ряду в деяких випадках точно визначають похибки в координатах останнього пункту тріангу­ляційного ряду. Взагалі вони відрізняються від помилок у координатах пунктів, але порівняно добре їх характеризують.

Багато вчених (О. І. Дурнєв, К. Л. Проворов, О.В.Заводовський, Г.К.Судаков, Д.А.Ларін та ін.) дослід- жували оцінку суцільних тріангуляційних мереж. Було виявлено, що поздовжні й поперечні зміщення в них майже однакові (а якщо трикутники рівносторонні - точно рівні). У суцільних мережах трилатерації поперечне зміщання значно більше, ніж поздовжнє. Це пояснюється тим, що поперечне зміщення за своєю сутністю мас більші кутові величини ніж лінійні. А кути в трилатерації визначаються посередньо (за виміряними лініями в трикутниках); при цьому похибки, що виникають при вимірюванні, зовсім інші, ніж у повздовжньому зміщенні.

Найповнішу характеристику поперечному і поздовжньому зміщен­ням можна бачити з одержаних формул середніх квадратичних похи­бок. В одних випадках це лінійні функції від числа фігур, в інших - квадратичні або кубічні параболи. Щоб трилатераційна мережа була од­норідною за викрив-ленням координат пунктів, треба так само, як і в рядах тріангуляції, будувати пункти Лапласа, розміщуючи їх по площі геодезичної мережі.

Щодо практичної побудови мереж трилатерації, то вона ще недостатньо вивчена; тут потрібні експериментальні дослідження щодо ви­бору фігур мережі і розміщення астрономічних пунктів. Ще менше відо­мо, як будувати мережі лінійно-кутової тріангуляції. Як у теоретичному, так і в практичному плані найбільше досліджено побудову тріангуля­ційних мереж.

Звернемо увагу ще на одну суттєву обставину. Одержуючи форму­ли для оцінок елементів тріангуляційних мереж, ми вважали, що вирів­нювання виконується по кутах. Однак можна одержати аналогічні формули, вважаючи, що вирівнювання виконується за напрямками. Такі формули є в геодезичній літературі. Вони більш точні, але виво­дити їх значно складніше. Висока точність їх пояснюється тим, що ви­міряні напрямки майже не залежні один від одного, а кути пов'язані між со­бою спільними напрямками. Якщо для обробки вимірювань застосо­вувати метод найменших квадратів, то ці зв'язки необхідно врахову­вати, а їх звичайно не беруть до уваги. У зв'язку з цим порушуються порядок виведення формули та їх точність.