1.4. Поняття про методи визначення фігури Землі

Методи визначення фігури Землі складалися в міру розвитку уяв­лень про геометричну форму її зовнішньої поверхні. Спочатку фігуру Землі визначали виключно геометричним способом - за даними ас­трономічних і гео- дезичних вимірювань (астрономо-геодезичний метод). Потім з'явився фізичний метод, який ґрунтувався на використан­ні вимірів земного прискорення гравітаційного поля Землі (гравімет­ричний метод). Поки Землю вважали точною кулею, або еліпсоїдом обертання, визначення фігури Землі полягало в обчисленні радіуса кулі (півосей еліпсоїда).

Із середини XIX ст. під фігурою Землі почали розуміти геометричну форму поверхні Світового океану, або геоїда. Визначення фігури Зем­лі полягало в порівнянні геоїда з по- верхнею земного еліпсоїда.

Тепер же для визначення фігури Землі треба: а) визна- чити розміри земного еліпсоїда, який найточніше відбиває форму квазігеоїда в цілому, б) знайти відстані по вертикалі між земним еліпсоїдом і квазігеоїдом. При цьому користуються даними астрономо-геодезичного, гравіметри-чного і супутникового методів.

1. Астрономо-геодезичний метод

Нехай на земній сфері радіусом R виміряно довжину дуги меридіана S та астрономічні широти φ₁ на початку дуги і φ₂ в кінці її. Очевидно, що центральний кут, який відпо­відає дузі S, становить φ₂ - φ₁ = Δ φ. Уся довжина меридіана сфери 2πR складає 360°, тому довжині меридіана S відповідає кут Δφ, отже,

; R = ^. . (1.7)

За формулою (1.7) Ератосфен з Єгипту, Посидоній з Гре- ції, а значно пізніше - араби і, нарешті, європейці (французи Фернель - 1528 р., Пікар – 1670 р.) визначили радіус земної кулі.

Аналогічно можна скласти рівняння для визначення великої півосі a й ексцентриситета е земного еліпсоїда обертання:

; , (1.8)

де S₁ - довжина дуги меридіана; S₂ - довжина дуги паралелі еліп­соїда; Δλ° - різниця довгот; ^о - число градусів у радіані.

Рівняння (1.7) і (1.8) називаються рівняннями градусних вимірю­вань. Ця назва виникла у зв'язку з тим, що за рівняннями (1.8) у XIX ст. визначали довжину дуги земного еліпсоїда в 1° на екваторі і поблизу полюса. Це потрібно було для того, щоб з'ясувати форму земного еліпсоїда - стиснутий він чи витягнутий.

Так визначають розміри Землі астрономо-геодезичним методом.

Фігуру геоїда можна обчислити за астрономічними і гео-дезичними вимірюваннями. Знаючи φ, λ, B i L для сукупності точок деякої лінії на поверхні геоїда, за формулами (1.2) легко обчислити повне відхилен­ня виска U в окремих точках, а по- тім інтегруванням по контуру одер­жати висоти геоїда. З без-межно малого трикутника ОBС маємо (рис. 1.2):

d (1.9)

де ζ - висота геоїда; S - довжина контура.

Обчислення за формулою (1.9) називається астромічним нівелюванням.

Рис. 1.2. До виведення формули (1.9)

1.4.2. Гравіметричний метод

Силу тяжіння між двома матеріальними точками, маса яких дорівнює dm і одиниці, згідно закону Ньютона, визначають так:

f , (1.10)

f = 6672 ^. 10 м^{3 .} кг ^.с - гравітаційна стала; r - відстань між двома точками; d- відстань точки одиничної маси від осі обертання; - одиничний вектор.

Відцентрову силу, утворену кутовою швидкістю добового обертан­ня Землі, що діє на матеріальну точку з масою, яка дорівнює одиниці, визначають так:

. (1.11)

Нехай точка з одиничною масою знаходиться на поверхні Землі, а точка з масою dm- всередині Землі. Якщо геометричнo скласти елементарні сили тяжіння (1.10), то одержимо результуючу силу тяжіння

,

яка діє на точку з одиничною масою. Геометрична сума сил (1.10) і (1.11)

F= - + (1.12)

називається силою тяжіння. Під дією сили тяжіння точка дістає прискорення g = F/m, яке називається прискоренням вільного падіння. Знак „мінус" біля першого доданка вказує на притягання (для сили відштовхування умовилися брати знак „плюс"),

Прискорення на поверхні Землі мало змінюється: від полюса до екватора, наприклад, воно зменшується на 0,05м/с². Є маятникові прилади і гравіметри, за допомогою яких земне прискорення вимі­рюють з великою точністю. Середнє значення земного прискорення близько 9,79782 м/с².

З формули (1.12) випливає, що земне прискорення залежить від форми і розмірів Землі (про це свідчать межі інтегрування).

У 1687 р. І. Ньютон уперше теоретично визначив стиснення Землі. Цим же у 1690 р. займався голландський учений X. Гюйгенс. Знач­ний крок у визначенні фігури Землі гравіметричним методом зробив французький учений А.Клеро. У 1743 р. він вивів формулу для визначення земного прискорення на поверхні рівневого еліпсоїда обер­тання

g (1.13)

(1.14)

де g_e- екваторіальна постійна земного прискорення, яка становить 9,78032 м/с² (за сучасними даними).

За формулою типу (1.14), але точнішою, тривалий час визначали стиснення Землі на підставі гравіметричних вимірів. Вимірюючи g і φ на поверхні Землі, з системи рівнянь виду (1.13), розв'язуючи їх за методом найменших квадратів, неважко знайти g_e і β. Потім за фор­мулою (1.14) можна обчислити стиснення Землі α.

Значного результату у визначенні фігури геоїда досяг англійський учений Д. Стокс. У 1849 р. він вивів формулу, за якою можна обчислю­вати висоти геоїда відносно загального еліпсоїда на підставі даних вимірів земного прискорення. Формула Стокса записується так:

σ+C, (1.15)

де Δg=g-γ - аномалія сили тяжіння; g - прискорення вільного падіння, виміряне на геоїді; γ- нормальне значення прискорення, одер­жане за формулою типу (1.13); dσ - елемент поверхні одиничної сфе­ри; ψ- кутова відстань між поточною точкою на сфері і даною, у якій треба знайти висоту геоїда ζ;

S(ψ) = cosec+

с - деяка постійна.

У 1928 р. голландський учений Ф. Венінг-Mейнес з фор- мули Стокса диференціюванням одержав формули для обчислення складових від­хилення ξ i η . Це було також великим досягненням у теорії визначення фігури Землі, тому що за відхиленням виска й астрономіч­ними координатами за формулами (1.2) можна знаходити геодезичні координати і так вивчати фігуру Землі.

Формули Стокса і Венінг-Мейнеса не втратили свого значення й досі. У 1960 р. М.С.Молоденський одержав формули, за якими мож­на визначити фігуру квазігеоїда. До цих формул входять аномалії сили тяжіння і величини, що характеризують рельєф Землі. По суті, форму­ли М.С.Молоденського є узагальненням формул Стокса і Венінг-Мей­неса: якщо в них не брати до уваги рельєф Землі, то вийдуть формули Стокса і Венінг-Мейнеса.

Дослідження М.С.Молоденького з теорії фігури Землі є великим кроком після досліджень Стокса.