Уравнения гидродинамики
Вывод уравнений движения основан на втором законе Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение. Выделим в жидкости элементарный параллелепипед с ребрами Δх, Δy и Δz. На данный объем действуют три силы: тяжести, давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х.
Сила
тяжести приложена к центру тяжести
объема ΔV=Δх·Δy·Δz.
Ее проекция на ось х
равна
произведению проекции ускорения
свободного падения gx
на массу элемента
:
.
(П.3.1)
Пусть на верхнюю грань элемента действует удельное давление p, тогда сила давления составит р Δy Δz (рис. П.3.1).
Рис. П.3.1. Схема к расчету силы давления на элемент объема жидкости dV
На
нижнюю грань элемента действует сила
.
Знак – означает, что сила действует
против оси х.
Равнодействующая обеих сил давления
(или сумма) примет вид:
.
(П.3.2)
При движении жидкостей всегда возникает сила трения. Как правило, на твердой поверхности жидкость прилипает и скорость движения равна 0. Неподвижный слой жидкости на поверхности тормозит движение соседнего слоя. Замедление движения соседнего слоя вызывает торможение последующего слоя и т.д. В результате в жидкости возникает градиент скорости. Итак, если есть градиент скорости, то в жидкости действуют силы трения.
Д
ля
определения этой силы рассмотрим
ламинарный слой жидкости, которая
движется вдоль твердой стенки в
направлении оси у
(рис. П.3.2).
Рис. П.3.2. Схема к расчету силы трения: 1 – твердая стенка, 2 – элементарный объем
Пусть
в этом слое скорость u
изменяется только в направлении оси у.
В этом случае силы трения возникают
только на боковых гранях элемента. Около
левой грани скорость движения меньше,
чем в самом элементе, поэтому сила трения
направлена против движения жидкости и
равна - S
Δх
Δy,
где S
– удельная сила трения. Около правой
грани скорость движения жидкости выше,
чем в элементе, поэтому сила трения
будет действовать на элемент в сторону
движения жидкости
.
Равнодействующая обеих сил трения равна сумме:
.
(П.3.4)
Удельная сила трения S определяется по формуле Ньютона:
,
где - коэффициент динамической вязкости.
Подставляя в выражение (П.3.4) при =const, получим
.
В
общем случае
,
поэтому проекция силы трения на ось х
определяется по формуле:
.
Суммируя проекции всех сил на оси х, действующих на элементарный объем, получим
.
Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы ρΔV на ускорение DU/dt:
,
где DU/dτ – субстанциональная производная.
Приравнивая силы и проводя сокращение на ΔV, получим:
(П.3.5)
Поступая аналогично, для проекций сил на другие оси получим:
(П.3.6),
(П.3.7).
Полученные уравнения (П.3.5)-(П.3.7) называются уравнениями движения Навье-Стокса. Выведенные уравнения справедливы не только для ламинарного, но и для турбулентного движения.
Приложение 4
Уравнение сплошности
Уравнения гидродинамики содержат неизвестную переменную давление р. Поэтому эти уравнения решают совместно с уравнением сплошности. Выведем уравнение сплошности, используя закон сохранения масс. Выделим в потоке жидкости элементарный объем ΔV=Δх·Δy·Δz в форме параллелепипеда с ребрами Δх, Δy и Δz (рис. П.4.1). Жидкость движения со скоростью .
Р
ис.
П.4.1.
Подсчитаем массу жидкости, вытекающую из объема за время Δt. В направлении оси х через грань ABCD втекает масса:
.
Через грань EFGH вытекает:
.
Вычитая из второго выражения первое получим:
.
Аналогично в направлении осей y и z получим:
Всего из объема вытекло массы жидкости:
Это приведет к уменьшению плотности жидкости в объеме ΔV за время Δt:
.
Приравнивая последние два выражения и сокращая ΔV и Δt, получим уравнение сплошности:
.
(П.4.2)
Если жидкость несжимаема, то ρ=const и уравнение (П.4.2) примет вид:
.
При совместном решении уравнений гидродинамики и сплошности используют уравнение состояния газа, связывающее давление и плотность газа, в виде зависимости ρ=f(P).
Приложение 5