4. Математическое описание процесса тепломассопереноса в металлургических агрегатах

4.1. Виды балансовых уравнений

В основе детерминированных моделей лежат уравнения, описывающие законы сохранения вещества и энергии, состояния среды и ее движения, равновесия, химические реакции и т.п. Сюда могут входить уравнения алгебраические, дифференциальные, интегральные и т. п., которыми можно описать металлургические процессы. В данном пособии ограничимся рассмотрением только уравнением сохранения энергии и вещества, которые составляют основу всех остальных металлургических процессов. Уравнения сохранения энергии и вещества представляют собой уравнения баланса. Балансы бывают материальные и энергетические, мгновенные и за промежуток времени, локальные и по ограниченному объему пространства.

Рассмотрим примеры балансов:

1. Материальный баланс углерода в ванне печи за время плавки:

, (4.1)

где – начальная и конечная концентрация углерода (%) в ванне; – количество углерода, выгоревшего за время плавки; - масса i-го компонента шихты с содержанием углерода С_i; - коэффициент использования кислорода; - количество кислорода, поступившего в ванну в % от садки печи.

2. Материальный баланс жидкости в проточной ванне за единицу времени.

(4.2)

где и - количество поступающей и уходящей жидкости, м³/с; - скорость изменения объема жидкости в ванне, м³/с.

3. Мгновенный баланс тепла в проточной ванне:

(4.3)

где и – теплосодержание массы поступающей и уходящей жидкости в единицу времени, Вт; - скорость изменения теплосодержания жидкости в ванне, Вт; - теплоемкость жидкости при постоянном давлении Р, Дж·кг/⁰С; – плотность жидкости, кг/м³; φ – источник (сток) тепла в ванне, Вт; Т₁ и Т₂ – температура поступающей и уходящей жидкости, ⁰С.

4. Мгновенный баланс тепла в неподвижном единичном элементарном объеме, характеризуемом точкой с координатами (x, y, z), через который протекает жидкость со скоростью описывается уравнением:

(4.4)

где с и ρ - теплоемкость и плотность материала; f – источник или сток тепла в точке (x,y,z); - поток тепла к элементарному объему, ; i, j, k – орты декартовой системы координат; λ – коэффициент теплопроводности, – субстанциональная производная; , – компоненты вектора скорости .

Вывод уравнения (4.4) приведен в приложении 1.

Подставляя выражение для в уравнение (4.4), при и используя обозначение , получим (4.4) в форме:

(4.5)

5. Мгновенный баланс примеси в элементарном объеме с координатами (x,y,z) ненеподвижной системе координат, через который протекает жидкость со скоростью описывается уравнением:

(4.6)

где f_c – источник или сток примеси, - поток примеси к элементу объема путем диффузии, С – концентрация примеси в % от массы объема (может в объемных процентах и молярных долях), , D – коэффициент диффузии примеси в жидкости (м²/с), – субстанциональная производная, – изменение концентрации в элементе за счет процесса диффузии, – конвективные члены, отвечающие за перенос примеси за счет конвекции (движения) жидкости. Вывод уравнения (4.6) приведен в приложении 9.