1. Енергетичний розрахунок ттл

1. Чотирирівнева система

Припустимо, що наш лазер, який працює за чотирирівневою схемою, має лише одну смугу поглинання накачування (хоча аналіз не зміниться навіть при наявності інших смуг поглинання за умови, що релаксація з них на верхній лазерний рівень 2 проходить дуже швидко ).

Рис.1. Схема енергетичних рівнів чотирирівневого лазера

Позначимо населеності чотирьох рівнів 0, 1, 2, 3 відповідно N_g ,N₁ ,N₂ і N₃. Нехай q – повне число фотонів у резонаторі. Вважаємо, що переходи між рівнями 3 і 2 та рівнями 1 і 0 є швидкими, тому можна прийняти N₁≈N₃≈0. Звідси ми можемо записати рівняння, які характеризують швидкість зміни в часі населеності на верхньому лазерному рівні та числа фотонів у резонаторі – швидкісні рівняння [1,3]:

	(1.1а)
	(1.1б)
	(1.1в)

Величина N_g визначає повне число активних частинок. У рівнянні (1.1б) вираз W_pN_g відповідає за накачку (W_p – швидкість накачки); BqN₂ – за вимушене випромінювання (величина τ – час життя верхнього лазерного рівня). У рівнянні (1.1в) вираз V_aBqN₂ відповідає за швидкість зміни кількості фотонів внаслідок вимушеного випромінювання, де V_a – об’єм, який займає мода всередині активного середовища. Член q/τ_c враховує зменшення числа фотонів внаслідок втрат у резонаторі, тут τ_с – час життя фотона. Він обраховується за формулою (1.2)[1]:

(1.2)

Вираз для обчислення W_p:

(1.3)

де η_р – ефективність накачки, Р – електрична потужність лампи накачки, V_a – ефективний об’єм моди резонатора (його визначення буде дано пізніше), ν_р – частота випромінювання накачки.

Точний вираз для визначення V_a має вигляд [1]:

(1.4)

де Е(x,y,z) – розподіл електричного поля всередині резонатора, Е₀ – його максимальне значення, інтегрування йде по об’єму активного середовища. Але якщо використовується резонатор із сферичними дзеркалами, радіус яких значно більший від розмірів активного елементу, вираз (1.4) можна з великою точністю апроксимувати простішим:

(1.5)

де ω₀ – радіус перетяжки, l_а.е. – довжина активного середовища.

Займемось тепер виведенням значення величини В, яка присутня в рівняннях (1.1б) і (1.1в). Для цього розглянемо резонатор довжиною L, в якому міститься активний елемент довжиною l_a.e. із показником заломлення n_a.e.. Запишемо вираз для зміни інтенсивності за прохід:

(1.6)

де R₁ і R₂ – коефіцієнти відбивання двох дзеркал ; а₁ і а₂ – відносні коефіцієнти втрат на дзеркалах, причому а₁=а₂=а_відн; Т_і – відносні коефіцієнт внутрішніх втрат у резонаторі за прохід; σ – переріз січення переходу. Для зручності введемо нові величини γ, які полегшать аналіз. Їх можна представити у вигляді логарифмічних втрат за прохід:

,	(1.7a)
	(1.7б)

З їх допомогою можна визначити повні втрати за прохід:

(1.8)

Розклавши експоненційну функцію з (1.6) у степеневий ряд, ми отримуємо:

(1.9)

Розділивши (1.9) на Δt – час, за який хвиля здійснює повний прохід резонатора, і, замінивши ΔI/Δt на δI/δt, отримуємо:

	(1.10)
де ,	(1.11)

Оскільки кількість фотонів q у резонаторі пропорційна інтенсивності I, рівняння (1.10) можна порівняти з (1.1в). При цьому ми отримуємо:

,	(1.12)
де ,	(1.13)

А с і с₀ – швидкість світла в середовищі і вакуумі відповідно.

Рівняння (1.1) описують стаціонарний і динамічний режим чотирирівневого лазера. Якщо замінити у цих рівняннях N₂ на різницю населеностей N:

(1.14)

то ці рівняння можна переписати у вигляді:

	(1.14а)
	(1.14б)

Для отримання кількісного опису роботи лазера необхідно розв’язати ці рівняння з врахуванням відповідних початкових умов.

Якщо відома величина q, то можна знайти вихідну потужність через дзеркало 2:

(1.15)

Аналіз поведінки лазера, поданий у цьому розділі, стосувався лише випадку одномодової генерації. Для багатомодового режиму у наближеному розгляді теж можна використовувати ці формули, попередньо записавши вирази для об’ємів V_а і V:

,

(1.16)

Де S_е і S – площі поперечних перерізів пучка в перетяжці і активного елемента відповідно.