Тема 4. Средние величины.

Для установления характерного для данной совокупности размера признака применяется средняя величина. Средней величиной называется обобщающая характеристика статистической совокупности, выражающая типический уровень изучаемого признака. Средняя величина может не совпадать ни с одним из конкретных значений признака у единиц данной совокупности.

Способность средней абстрагироваться от разнообразия проявления признаков у отдельных единиц позволяет при ее помощи выявлять закономерности, присущие совокупности единиц в целом, которые трудно уловить в каждом конкретном случае.

Относясь не к единичному случаю, а к совокупности явлений, средние величины обладают относительной устойчивостью, что и способствует выявлению закономерностей развития. Но средняя величина обладает и недостатком – в ней погашаются индивидуальные различия отдельных единиц изучаемой совокупности.

Основным условием исчисления средних величин является качественная однородность статистической совокупности. Только те средние, которые исчислены из качественно однородной совокупности, исключают огульные обобщения, обеспечивают научное применение средних величин в экономическом анализе.

В статистике применяются следующие виды средних величин:

1)средняя арифметическая (простая и взвешенная);

2)средняя гармоническая (простая и взвешенная);

3)структурные средние (мода и медиана);

4)средняя квадратическая (дисперсия);

5)средняя геометрическая;

6)средняя хронологическая.

Выбор вида средней величины и необходимой формулы для ее расчета определяется наличием исходных данных.

Средняя арифметическая исчисляется тогда, когда известны значения признаков (варианты) и частоты. При этом, если частоты равны между собой, т. е. Каждый вариант встречается одинаковое количество раз, то средняя вычисляется по формуле средней арифметической простой:

_Х= ^∑x , где

ⁿ

Х- среднее значение признака;

Х - усредняемые варианты признака;

n- число вариант.

Если варианты встречаются разное число раз, т. е. Частоты не равны между собой, то средние вычисляются по формуле средней арифметической взвешенной:

_{X =} Σ x∙f , где

Σ f

f- частоты ряда распределения (веса).

Средняя арифметическая имеет ряд математических свойств, важных как для понимания сущности средних, так и для практической статистической работы. Укажем следующие из них:

1.Сумма отклонений всех вариантов ряда распределения от средней арифметической равна нулю, так как:

Σ (x-x)∙f=0

2.Если из каждого варианта ряда распределения вычислить среднюю, то она окажется меньше средней из первоначальных данных на это число «а». Это свойство можно выразить так:

X=∑(x-a)∙f +a ,где

∑ f

а - произвольная величина.

При расчетах за «а» удобнее всего принимать значение варианта при наибольшей частоте.

3.Уменьшение каждого варианта в «к» раз уменьшает среднюю тоже в «к» раз, т. е.

,где

к - произвольная величина.

В интервальном ряду распределения за «к» удобнее всего принимать величину, равную размеру интервала при наибольшей частоте.

4. Если все веса (частоты) поделить на одну и ту же величину, то средняя от этого не измениться. Отсюда возникает возможность брать в качестве весов их выражения в виде процентов, промилле (частотой).

Используя второе и третье свойства средней арифметической, последнюю можно рассчитать по следующей формуле:

, или .

Этот способ расчета средней арифметической называется методом моментов или методом отсчета от условного нуля.

Средняя гармоническая величина применяется тогда, когда неизвестны частоты, а даны лишь варианты и производные показатели, представляющие собой произведение вариант на частоты.

Формула средней гармонической взвешенной такова:

,где

М-веса и

Так же, как и средняя арифметическая, средняя гармоническая может быть не только взвешенной, но и простой, если удельный вес признаков одинаков.

Алгебраическая формула средней гармонической простой следующая:

,где

- сумма обратных значений вариант;

n- число вариант.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются особые показатели, которые называют структурными средними. К ним относят моду и медиану.

Модой называют вариант, наиболее часто встречающийся в данной статистической совокупности. Для ряда распределения с дискретными вариантами мода определяется как вариант, имеющий наибольшую частоту. В интервальном ряду распределения мода приближенно вычисляется по формуле:

, где

Х_о – нижняя граница модального интервала;

К - размер этого интервала;

f₂- частота модального интервала;

f₁- частота предмодального интервала;

f₃- частота послемодального интервала.

Медиана- это величина признака, делящая статистическую совокупность ранжированного ряда на две равные части так, что у половины - больше ее. Для дискретного ряда распределения медиана определяется по накопленным частотам как вариант, при котором отсекается половина распределения. При интервальном выражении признака медиана приближенно определяется по формуле:

, где

Х_о - нижняя граница медианного интервала;

К - размер этого интервала;

- полу сумма частот;

-сумма частот, накопленных до медианного интервала;

f₂- частота медианного интервала.