Тема 5. Показатели вариации.

Средние величины недостаточны для характеристики рядов распределения, поскольку средняя может быть одной и той же для совокупностей, в которых признак варьирует по – разному.

Следовательно, для всесторонней характеристики вариационного ряда, помимо определения средней величины, необходимо установить степень колеблемости отдельных значений признака. Колеблемость признаков измеряется показателями вариации, относят размах вариации. К показателям вариации относят размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака в ряду распределения, т.е.

R=X_max-X_min

_{Среднее линейное отклонение образуется как средняя арифметическая из отклонений вариантов от средней без учета знака отклонения. В зависимости от весов вычисляют среднее линейное отклонение:}

_{(не взвешенное);}

(взвешенное).

Дисперсия - средняя из квадратов отклонений всех вариантов ряда распределения от средней арифметической этого ряда.

Дисперсия вычисляется по формуле:

(не взвешенная);

(взвешенная).

Наряду с обычным способом расчета дисперсии статистика предлагает упрощенный метод ее расчета, основанный на двух свойствах дисперсии:

1.Если все значения признака (варианты) в ряду распределения разделить на какое- либо число «к», то дисперсия уменьшиться в квадрат этого числа (к²).

2.Дисперсия отклонений значений варьирующего признака от произвольной постоянной величины «а» будет больше дисперсии, рассчитанной относительно средней арифметической величины на квадрат разности между средней и этой произвольной величиной «а».

Используя перечисленные свойства дисперсии можно пользоваться следующей формулой:

или .

Квадратный корень из дисперсии носит название среднего квадратического отклонения от средней. Формулы его расчета:

(не взвешенное);

(взвешенное).

Все перечисленные показатели вариации (R,d,²,) являются абсолютными величинами и выражаются в тех же единицах измерения, что и сами варианты.

Нами рассмотрены показатели колеблемости таких признаков, которые присущи всем единицам изучаемого явления и которые имеют количественное выражение. Но единицы изучаемых явлений могут характеризоваться такими признаками, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие не обладают. Такие признаки исключающие друг друга, в статистике называются альтернативными.

Вариацию альтернативного признака количественно характеризуют следующим образом: отсутствие данного альтернативного признака у той или иной единицы совокупности выражают через нуль, а наличие признака - через единицу.

Долю единиц, обладающих данным признаком, обозначают «р», а долю единиц, не обладающих этим признаком «q»или (1-р), так как р+q=1.

В этом случае также можно рассчитывать средний признак, дисперсию и среднеквадратическое отклонение от среднего признака, формулы расчета указанных величин выведем по данным следующего условного примера:

А льтернативные признаки x f

при разбраковке товара

Н аличие брака 1 p

О тсутствие брака 0 q

Рассчитать среднее наличие брака во всей партии товара и дисперсию отклонений от среднего брака.

Формула расчета среднего значения альтернативного признака (в нашем примере - наличие брака) выводиться следующим образом:

Следовательно, среднее значение альтернативного признака равно величине той доли единиц, которая обладает этим признаком. Для расчета дисперсии используем следующую формулу:

Дисперсия альтернативного признака равна произведению долей единиц, обладающих и не обладающих этим признаком.

Среднеквадратическое отклонение в этом случае принимает вид:

.

Коэффициент вариации является относительной мерой колеблемости и представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Выражается коэффициент вариации, как правило, в процентах и исчисляется по следующей формуле:

Вариацию сгруппированных данных можно изучить с помощью 3 показателей колеблемости: общей, межгрупповой и внутригрупповой (средней из групповых) дисперсией. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности и исчисляется по следующим формулам:

или , где

X- варианты величины совокупности групп;

- средняя для всей совокупности.

Групповые дисперсии определяются:

или .

Внутригрупповая (остаточная) дисперсия характеризует меру колеблемости признака за счет всех факторов, кроме того, положенного в основу группировки, определяется как средняя из групповых: Формула расчета.

или .

Межгрупповая (факторная) дисперсия измеряет вариацию за счет фактора, положенного в основу группировки, и определяется:

или

Так как в общей дисперсии отражена вариация факторов, то

Соотношение между факторной и общей дисперсией характеризует меру тесноты связи между результативными и факторными признаками:

Показатель R² называется коэффициентом детерминации (причинности) и выражает долю факторной дисперсии в общей дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака (y) объясняется, изучаемы фактором (х).

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется индексом корреляции (или корреляционным отношением):

.