4.2. Пространственная и временная когерентности

Определим, при каких же условиях полученные выше волны можно считать когерентными. Учтем, что любая волна представляет собой результат наложения большого количества колебаний с различными частотами, т. е. световая волна характеризуется спектром (рис. 4.3). Если этот спектр узок, то свет воспринимается как монохроматический с частотой ω₀. Но и такую волну можно рассматривать как волну, полученную от наложения двух волн с близкими частотами: ω₀ и ω₀ + ∆ω, где ∆ω – ширина спектра, т. е. интервал между частотами, интенсивность которых I = I₀/2.

При наложении волн с близкими частотами в некоторой точке пространства возникают биения (рис. 4.4).

Рис. 4.3

Амплитуда результирующего колебания (биений) меняется во времени. Пусть ∆t – промежуток времени, за который определяется интенсивность волны.

При ∆t << Т_Б интенсивность результирующей волны I ≠ I₁ + I₂ ,

а при ∆t > Т_Б I = I₁ + I₂. В первом случае мы должны сделать вывод, что накладывающиеся волны когерентные между собой, а во втором – не когерентные. Т. е. об одном и том же процессе получили два противоположных вывода. В связи с этим и вводится понятие ∆t = τ (время когерентности) - это наибольший промежуток времени при усреднении по которому накладывающиеся волны еще остаются когерентными.

За τ принимают период биений (τ = Т_Б).

Рис. 4.4

_т.к.

_{, .}

Т. о. время когерентности зависит от ширины спектра накладывающихся волн. Когерентность, зависящую от ширины спектра, принято называть временной когерентностью. Время когерентности позволяет определить длину когерентности

_{. (4.1)}

_{Длина когерентности определяет расстояние, при прохождении которого, накладывающиеся волны утрачивают свойство когерентности.}

_{Кроме временной когерентности проявляется еще пространственная когерентность. Она обусловлена тем, что источники света характеризуются угловыми размерами. Пусть имеется источник света. Свет, приходящий от разных точек источника, в некоторую точку пространства А будет иметь разное направление вектора (волновое число) (рис. 4.5). Угловой размер удаленного источника Ө можно выразить так:}

Рис. 4.5

_.

Величину r_k - называют радиусом когерентности. Он определяет максимальное расстояние в направлении перпендикулярном направлению света, на котором волны остаются еще когерентными между собой.

_(4.2)

_{т. е. радиус когерентности зависит от углового размера источника и среднего значения длин волн, приходящих от этого источника. Определим длину и радиус когерентности лучей видимого диапазона, приходящих от Солнца. Учтем, что угловой размер Солнца Ө = 10}^-2 _{радиана, среднее значение длины волны лучей видимого диапазона λ ~ 5 10}^-7 _{м, а ширина видимого диапазона ∆λ ~ 2, 5۠·10}^-7_{м, тогда lког = 1 мкм, а rk = 50 мкм.}

4.3. Интерференция на тонкой пленке

_{Луч света длиной волны λ падает на пленку толщиной d под углом падения i (рис. 4.6) и делится на два: луч 1 отражается от верхней грани, а луч 2 преломляется, проходит в пленка расстояние АВ, затем отражается от нижней грани, проходит расстояние ВС и затем преломляется. Два луча собираются линзой в одной точка, расположенной в фокальной плоскости линзы. Для расчета картины интерференции на экране найдем оптическую разность хода лучей 1 и 2.}

_{Разность хода лучей 1 и 2 в точке А} равна нулю, так как они двигались вместе, составляя луч падающего на пластинку света. После линии ОС (она перпендикулярна лучам 1 и 2) их разность хода не изменяется, так как линза не дает дополнительной разности хода для этих лучей. Поэтому оптическая разность хода возникает при переходе лучей от точки А к линии ОС:

Рис. 4.6

∆ = (АВ + ВС)n – ОА + λ₀/2. (4.3)

Оптическим ходом луча называют произведение

геометрического хода (АВ +ВС) на показатель

преломления среды, в которой распространяется луч. На участке АО луч 1 распространяется в воздухе, для которого n_В = 1. В формулу для оптической разности хода введено слагаемое λ₀/2, так как вектор напряженности луча 1 при отражении от оптически более плотной среды изменяет свою фазу на π или луч 1 теряет полволны. λ₀ – длина волны в вакууме. Подставляя параметры пленки и угол падения в формулу (4.3), для оптической разности хода можно окончательно записать:

_{. (4.4)}

_{Для данного примера условия наблюдения максимумов и минимумов будут выглядеть таким образом:}

_{максимумы:}

_{минимумы:}

_{Отметим, что для наблюдения интерференционной картины нужно брать тонкую пленку, чтобы для естественного света лучи 1 и 2 после линии ОС были} когерентными: ОС ≤ r_к (из за пространственной когерентности) и ∆ ≤ l_к (из за временной когерентности).

Как видно из формулы (4.4), оптическую разность хода лучей ∆ можно изменять либо изменением угла падения i, либо изменяя толщину пленки d. Рассмотрим полученные интерференционные картины.

Если на пленку одинаковой толщины d падает монохроматический свет под одним и тем же углом i и выполняется условие максимума, то пленка в отраженных лучах будет светлой (имеющий цвет падающей длины волны). При выполнении условия минимума отраженных лучей не будет. Свет не отражаясь, проходит через пленку.

Рис. 4.7

Если на пленку с линейно изменяющейся толщиной d (клин) (рис. 4.7) падает монохроматический свет под одним и тем же углом i, то в отраженных лучах будут наблюдаться полосы равной толщины. Если на этот клин направить белый свет, то максимумы превратятся в спектры.

В пределах каждого максимума цвет будет плавно меняться от красного к фиолетовому.