9. 1. Вероятностный смысл волны де Бройля. Волновая функция

Какова физическая природа волн де Бройля? Ответить на этот вопрос трудно, так как волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии в классической физике.

Рис. 9.1

И все же между светом и движущимися частицами существует нечто общее. Этим общим является проявление волновых свойств через статистические закономерности. Рассмотрим явление дифракции света от щели (рис. 9.1). Если через щель проходит свет, то на экране наблюдается дифракционная картина. Используя волновые свойства, мы можем рассчитать, как будет меняться интенсивность света на экране с изменением координаты х.

Если рассматривать свет как поток частиц (фотонов), то для фотона мы не можем определить, в какую точку на экране он попадет. Для фотона можно рассчитать только вероятность попадания его в ту или иную точку (w). И эта вероятность w ~ I ~ A². Чтобы реализовать эту вероятность попадания фотонов в ту или иную точку на экране, необходимо пропустить большое число фотонов через щель. То есть получается, что волновые свойства света проявляются через статистические закономерности.

К такому же выводу мы придем, если в рассматриваемом эксперименте будем использовать поток частиц (волн де Бройля).

Чтобы описать распределение вероятности нахождения частиц в пространстве в квантовой механике используют волновую функцию ψ(х,у,z,t) (пси функцию). Пси функцию определяют следующим образом:

_,

_{dw – вероятность того, что частица находится в некотором элементарном объеме dV, пропорциональна .}

_{Физический смысл имеет не ψ-функция, а ее квадрат модуля, который определяет вероятность обнаружения частицы в данном объеме (точка):}

9. 2. Уравнение Шредингера

_{Мы уже отмечали, что если частица обладает волновыми свойствами, которыми нельзя пренебречь в рассматриваемой задаче, то поведение такой частицы нельзя описывать уравнениями классической физики. Нужны новые уравнения, которые бы учитывали наличие волновых свойств. Одно из таких уравнений было получено Шредингером в 1926 г.}

_{Оно имеет следующий вид:}

_(9.1)

_{где - мнимая единица; m – масса частицы; U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется; - оператор Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам. В левой части уравнения берется частная производная от волновой функции по времени t.}

_{Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными. Его значение в квантовой механике сравнимо с уравнением Ньютона в классической механике и Максвелла в электродинамике.}

_{Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени t. Их называют стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не зависит от времени U = U(x,y,z), а полная энергия частицы остается постоянной (W = U + Wк = const). Волновую функцию в этом случае можно представить в вида произведения координатной ее части на временную:}

_{Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) принимает вид}

_(9.2)

_{В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера имеют решения, удовлетворяющие требованиям конечности, непрерывности и однозначности не при любых значениях полной энергии W, а лишь при определенных. Эти значения энергии называют собственными значениями, а соответствующие им волновые функции – собственные функции задачи.}

_{Решая задачу, с использованием уравнения Шредингера, находят собственные значения энергии рассматриваемой частицы и соответствующие им волновые функции, которые и позволяют определить вероятность нахождения частицы с определенной энергией в интересующей области пространства.}