9.3. Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Рис.9.2

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси _{х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 9.2а): она равна нулю при 0 ≤ х ≤ l и обращается в бесконечность при х < 0 и х > l.}

_{Найдем собственные значения энергии и соответствующие собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.}

_{Поскольку пси-функция зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом:}

_(9.3)

_{За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно, и функция ψ за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ должна быть равна нулю и на границы ямы, т. е.}

_{что Ψ(0) = ψ(l) = 0. (9.4)}

_{В области, где ψ тождественно не равна нулю уравнение (9.3), имеет вид:}

_{. (9.5)}

_{Введя обозначение}

_(9.6)

_{придем к уравнению, хорошо известному из теории колебаний:}

_ψ^'' _{+ ω}²_{ψ = 0.}

_{Решение такого уравнения имеет вид:}

_{Ψ(х) = А sin (ωx + α). (9.7)}

_{Из условия Ψ(0) = 0 получаем}

_{Ψ(0) = А sin α = 0,}

_{откуда следует, что α должна быть равна нулю. Далее должно выполняться условие:}

_{Ψ(l) = А sin ωl = 0,}

_{что возможно лишь в случае, если}

_{ωl = ± nπ (n = 1, 2, 3, …). (9.8)}

_{Из уравнений (9.6) и (9.8) найдем собственные значения энергии частицы:}

_{(n = 1, 2, 3, …). (9.9)}

_{Спектр энергии оказался дискретным. На рис. 9.2б изображена схема энергетических уровней.}

_{Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l. Разность энергии двух соседних уровней равна}

_{Если взять m порядка массы электрона (9,1∙ 10}^-31 _{кг), а l порядка 0,1 м (электрон в сосуде), получим эВ. Столь густо расположенные энергетические уровни будут восприниматься как сплошной спектр энергии. Однако совсем иной результат получится для электрона, если область, в которой он движется, будет порядка атомных размеров (~ 10}^-10 _{м). В этом случае эВ, так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.}

_{Подставив в (9.7) значение ω, найдем собственные функции задачи:}

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае запишется следующим образом:

_{В результате получим, что А = . Таким образом, собственные функции имеют вид:}

_{(n = 1, 2, 3, …). (9.10)}

_{Графики собственных функций изображены на рис. 9.3а.}

Рис. 9.3

На рис.9.3б приведена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная _{. Из графика видно, что, например, в состоянии с n = 2} частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Лекция 10