2.1. Интерференция волн

Если под действием проходящей волны свойства среды не меняются, то для волн в этой среде применим принцип суперпозиции (наложения). При распространении в этой среде нескольких волн, каждая из которых распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которое получают частицы, участвуя в каждом из волновых процессов. Накладывающиеся волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз, называют когерентными. При наложении когерентных волн возникает явление интерференции.

П

Рис. 2.1 14.34

ри этом явлении в пространстве наложения волн возникает перераспределение энергии. Возьмем точечный источник S (рис. 2.1), от которого распространяется сферическая волна. На пути волны поставлена преграда с двумя точечными отверстиями s₁ и s₂, расположенными симметрично по отношению к источнику S. Отверстия s₁ и s₂ становятся, согласно принципу Гюйгенса, самостоятельными источниками колебаний, причем колеблющимися с одинаковой частотой и в одинаковых фазах. Справа от преграды будут распространяться две сферические когерентные между собой волны, которые накладываясь друг на друга, и дают интерференционную картину. Выделим в пространстве наложения волн точку С, отстоящую от источников

s₁ и s₂ на расстоянии r₁ и r₂. Колебания источников можно представить в виде:

ξ(0, t) = А₀ cos(ωt + φ₀), (2.1)

а колебания, дошедшие до точки С, выразятся:

_(2.2)

_(2.3)

_{Разность фаз слагаемых колебаний в точке С будет}

_{(2.5) Если то волны в точку С приходят в одинаковой фазе. В этом случае в точке С будет наблюдаться максимум интерференции, то есть А = А1 + А2.}

_{Так как , то (условие максимума выражено через геометрическую разность хода волн). Максимумы интерференции наблюдаются в тех точках, для которых геометрическая разность хода равна целому числу длин волн.}

_{Минимумы наблюдаются для точек, в которые волны приходят противоположными по фазе, то есть если . В этом случае - разность хода равна нечетному числу полуволн.}

2.2. Стоячие волны

Стоячей волной называют волну, образующуюся при наложении двух встречных когерентных волн. Рассмотрим случай наложения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох в положительном ξ₁(х, t) и отрицательном ξ₂(х, t) направлениях:

ξ₁(х, t) = А cos(ωt - kx), ξ₂(х, t) = А cos(ωt + kx).

Для уравнения стоячей волны в соответствии с формулой сложения колебаний можно записать:

ξ_ст(х, t) = ξ₁ + ξ₂ = 2А cos kx cos ωt (2.6)

Из формулы (2.6) следует, что амплитуда стоячей волны

А_ст = | 2А cos kx | (2.7)

зависит от координаты х выбранной точки пространства, изменяясь от минимального значения, равного нулю (А_ст = 0), до максимального значения, равного 2А (А_ст = 2А).

Найдем координаты точек пространства х_п, в которых наблюдается максимальная амплитуда колебаний частиц среды, их называют пучностями стоячей волны, и координаты узлов стоячей волны (х_у), для них амплитуда колебаний частиц среды равна нулю:

А_ст = 2А _{cos kxп = ± 1 хп = nπ хп = (2.8)}

_{Аст = 0 cos kxу = 0 (2.9)}

_{Из формул (2.8) и (2.9) следует, что расстояние между соседними узлами ∆ху и соседними пучностями ∆хп стоячей волны одинаково и равно ∆х = ∆хп = ∆ху = λ/2.}

Рис. 2.2

Рис. 2.2 14.2221 14.34

На рис.2.2 приведены графики стоячей волны для трех моментов времени _{t = 0, T/4, T/2, где стрелками указаны направления движения частиц среды. Из графиков видно, что все частицы среды, находящиеся между соседними узлами, совершают колебания с разными амплитудами и с одинаковой фазой (частицы одновременно достигают положения равновесия и движутся в одну сторону). При переходе через узел фаза колебаний частиц изменяется на π (частицы по разные стороны от узла одновременно достигают положения равновесия и движутся в противоположных направлениях).}

_{Стоячие волны обычно образуются при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред. При этом возможны два случая. В первом при отражении волны от более плотной среды фаза волны изменяется на значение равное π и на границе раздела образуется узел стоячей волны. Во втором случае при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется и на границе разделе образуется пучность стоячей волны.}