Нормальное распределение вероятностей.

Нормальное распределение для плотности вероятности случайной величины имеет вид:

где - среднее значение случайной величины (например, ожидаемое значение случайного спроса), а sx – ее стандартное отклонение.

Это распределение было введено Гауссом еще в 18 веке. Затем два российских математика – П.Чебышев и А.Марков в конце 19 и в начале 20 века, доказали (во все более общих предположениях) центральную предельную теорему о том, что сумма большого числа любых слагаемых распределена в соответствие с этим распределением, где равно сумме средних значений слагаемых (4), а дисперсия - равна сумме дисперсий каждого слагаемого (5).

Чтобы не вдаваться в точное определение плотности распределения вероятности, несколько упрощенно, можно представить себе, что описанная формулой (11) кривая – это огибающая частотного распределения, составленного из очень узких столбиков, площадь каждого из которых дает вероятность того, что случайная величина (спрос) попадет в тот интервал, на котором столбик построен (Рис. 202). Сумма площадей всех прямоугольников на этой диаграмме, т.е. площадь под кривой нормального распределения равна 1.

Рис. 202

Интересно, что выбором масштаба все нормальные кривые (с разными средними значениями и стандартными отклонениями) можно свести к одной.

Если ввести величину z, равную

и измеряющую величину отклонения спроса от его среднего значения, выраженную в единицах стандартного отклонения, то получится, так называемое стандартное нормальное распределение, не имеющее никаких параметров (иначе можно сказать, что его среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение – 1):

Именно это стандартное нормальное распределение и изображено на Рис. 202.

31. Оценка риска возникновения дефицита по нормальному распределению

Допустим, что в результате анализа числовой выборки спроса на некоторый товар получено, что среднее (ожидаемое на планируемый период) значение ежедневного спроса (в единицах больших контейнеров), а стандартное отклонение ежедневного спроса оценено как s0,1 контейнера. Пусть время выполнения поставщиком заявки на пополнение запаса составляет L=16 дней. Это означает, в соответствие с формулами (4) и (5), что среднее значение суммарного спроса за L=16 дней ожидания поставки составит

а стандартное отклонение этого суммарного спроса равно

При этом случайное значение суммарного спроса распределено нормально.

Допустим, что менеджер оставляет на время ожидания поставки запас , где ROP – аббревиатура английских слов Re-Order Point – точка перезаказа.

Дефицит возникнет, если спрос превысит оставленный менеджером запас. В данном случае – если спрос за время ожидания поставки будет выше среднего значения . Вероятность этого события будет измеряться суммарной площадью всех столбиков на частотной диаграмме нормального распределения (Рис. 202), лежащих справа от значения z=0 (или ). Очевидно, что эта площадь (площадь под правой половиной кривой нормального распределения) равна 0,5, а значит, вероятность дефицита составит 50%.

Пусть менеджер, желая снизить риск возникновения дефицита, делает перезаказ, когда запас данного товара на складе . Пусть оставленный запас превышает величину среднего суммарного спроса за время выполнения поставки на стандартных отклонений суммарного спроса за это время, т.е.

Тогда риск возникновения дефицита будет измеряться площадью под хвостом кривой нормального распределения справа от значения (Рис. 202).

Таким образом, показывает, какой безопасный резерв нужно добавить к среднему спросу за время ожидания поставки так, чтобы риск возникновения дефицита в этом периоде не превысил .

Практически вычисление риска возникновения дефицита  при заданном значении точки перезаказа ROP, или, наоборот, вычисление величины безопасного резерва SS и точки перезаказа ROP при выбранном значении риска возникновения дефицита, сводится к вычислению площадей под кривой стандартного нормального распределения. Это вычисление легко выполнить с помощью специальных функций MS-Excel.

Функция НОРМСТРАСП(z) ( в английском варианте MS Excel – NORMSDIST) вычисляет площадь под кривой стандартного нормального распределения от - до z. Таким образом, если задать

то риск возникновения дефицита при таком запасе можно получить по формуле:

Функция НОРМСТОБР(вероятность) ( в английском варианте MS Excel – NORMSINV) решает обратную задачу: вычисляет величину z так, чтобы площадь под кривой стандартного нормального распределения, опирающейся на интервал от -  до z, равнялась заданной вероятности. Таким образом, если задать требуемый риск возникновения дефицита за время ожидания поставки , то величину , показывающую какой безопасный резерв нужно создать, чтобы снизить риск дефицита до заданного значения  следует рассчитать по формуле:

Подчеркнем, что в качестве вероятности, запрашиваемой этой функцией,

нужно подставить вероятность того, что дефицита за время ожидания поставки не

будет, т.е. 1-.

При этом точка перезаказа будет определяться как