38.Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

. (1)

Заметим, что в этой формуле — это бесконечно малая при более высокого порядка, чем . Поскольку при является бесконечно малой того же порядка, что и , то говорят, что — это главная часть приращения функции.

Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению аргумента , и обозначается символом или .

Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое, не зависящее от , число. Обычно берут это число равным приращению независимой переменной. Тогда

. (2)

Если учесть, что , то формулу (2) можно переписать в виде

. (3)

Из последнего выражения следует, что производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента

.

Из формулы (3) также следуют правила вычисления дифференциалов, связанные с арифметическими действиями:

( — постоянная);

( — постоянная);

;

;

.

Геометрический смысл дифференциала функции

Рассмотрим график функции . Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка — значению аргумента . В точке проведем касательную к графику функции. Обозначим точку пересечения касательной и вертикальной прямой через . Проведем также прямую , параллельную оси . Заметим, что приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента , равно . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Угол — это угол наклона касательной, следовательно, . Тогда , то есть дифференциал функции в точке равен приращению переменной на касательной, проведенной к графику функции в точке . Поскольку длины отрезков и различны, то . Однако при .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Из определения дифференциала следует, что приращение функции , соответствующее приращению аргумента отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем . Поэтому при достаточно малых можно считать, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу, то есть

. (8)

Подставляя в формулу (8) , получим

. (9)

Положив формулу (9) можно записать в виде

. (10)

Формулу (10) используют для приближенного вычисления значения функции в точке , если известно значение функции в точке , а приращение аргумента достаточно мало.

Причем, чем меньше тем выше точность вычислений.

Пример. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию . Нам нужно найти приближенное значение этой функции при , то есть . Заметим, что , а . Положим , тогда . Найдем

.

По формуле (10) находим приближенное значение

.

Сравнивая найденное значение с более точным, равным 4.0975992, видим, что используя формулу (10), мы вычислили с точностью до 0.03.

В данном примере приращение может показаться не таким уж маленьким, однако относительное приращение достаточно мало.