6. Определения предела функции в точке. Односторонние пределы. Определение предела функции при , . Предельное значение функции при , и

Будем считать, что область задания функции имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка , для любого положительного числа .

Определение (по Коши). Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех значений аргумента функции , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

В доказательствах нередко удобнее пользоваться другим эквивалентным определением предельного значения.

Определение (по Гейне). Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример. Найдем предел функции при . Пусть — произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда соответствующая последовательность значений функции является бесконечно малой. Следовательно .

Пример. Покажем, что функция не имеет предела при . Действительно, для бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 1. Однако для другой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 0. Следовательно, предел функции при не существует.

Сформулируем определение предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака, то есть при и . Предельные значения функции в этих случаях могут оказаться различными.

Определение (по Гейне). Число называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример. Найти предельные значения функции при и .

На рис. 1 приведен график заданной функции. Мы видим, что при график функции приближается к прямой , а при — к прямой . Покажем, что , а .

Пусть — произвольная бесконечно большая последовательность, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны. Тогда

Рис. 1 .

Если все члены бесконечно большой последовательности , начиная с некоторого номера, отрицательны, то

.

Следовательно, , а .

Односторонние пределы

Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента функции, все элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Такие пределы называются односторонними пределами.

Правый предел обозначают символом , а левый — . Правый и левый предел функции в точке могут принимать как равные, так и отличные друг о друга значения.

Пример. Найдем правый и левый пределы функции при . Возьмем произвольную сходящуюся к последовательность , все элементы которой больше нуля. Тогда и . Пусть все члены сходящейся к последовательности меньше нуля. В этом случае и .

Теорема. Если в точке правые и левые пределы функции равны, то в этой точке существует предельное значение функции, равное указанным односторонним пределом.