Основные свойства сходящихся последовательностей

Свойство 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Пусть последовательность имеет два предела и , причем . Выберем положительные числа и меньшими, чем . Тогда -окрестность точки не пересекается с -окрестностью точки . Согласно определению предела существуют номера и такие, что все элементы последовательности , начиная с номера , находятся в -окрестности точки , а начиная с номера , в -окрестности точки . Следовательно, при все элементы последовательности находятся одновременно в -окрестности точки и -окрестности точки , чего не может быть, так как эти окрестности не пересекаются. Значит последовательность не может иметь двух различных пределов.

Свойство 2. Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Доказательство. Пусть , . Нужно доказать, что предел последовательности равен Возьмем произвольное положительное число . Согласно определению предела для любого положительного числа, в частности для , найдутся номера и такие, что

при , (2)

при , (3)

Пусть . Тогда при справедливы как неравенство (2), так и (3).

Рассмотрим разность :

.

Отсюда, с учетом неравенств (2), (3) следует, что для произвольного положительного числа существует такой номер , что при всех справедливо неравенство

.

Это означает, что у последовательности существует предел, равный , то есть

.

Свойство 3. Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и .

Свойство 4. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Свойство 5. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

Свойство 6. Сходящаяся последовательность ограничена.

Следующие свойства сходящихся последовательностях связаны с предельным переходом в неравенствах.

Свойство 7. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству ( ), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

.

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел принадлежит тому же отрезку:

.

Свойство 8 (о трех последовательностях). Пусть последовательности и сходятся и имеют общий предел . Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность также сходится и имеет предел .