5. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой, что для всех номеров справедливо неравенство .

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Действительно, для того, чтобы последовательность была неограниченной необходимо, чтобы для любого положительного числа неравенство выполнялось, хотя бы для одного элемента последовательности, но из определения бесконечно большой последовательности следует, что такими элементами являются все элементы последовательности, начиная с некоторого номера .

Обратное утверждение неверно, то есть неограниченная последовательность не всегда является бесконечно большой.

Пример. Рассмотрим последовательность 0, 2, 0, 4, … , у которой все члены с нечетными номерами равны нулю, а члены с четными номерами равны . Поскольку для любого положительного числа найдется натуральное число , то для четных номеров больших справедливо неравенство . Следовательно, данная последовательность является неограниченной. Однако она не является бесконечно большой, так как, какой бы большой номер мы не взяли, имеются члены с нечетными номерами , равные нулю, для которых неравенство не имеет места.

Если последовательность является бесконечно большой, то пишут . В случае бесконечно большой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера положительны, говорят, что ее предел равен и пишут . Если же все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера отрицательны, то ее предел считают равным и пишут .

Бесконечно малые последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, то есть

.

Из определения 1 предела последовательности следует справедливость следующих утверждений:

1. Последовательность является бесконечно малой, если для любого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

2. Число является пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой.

Пример. Доказать, что последовательность является бесконечно большой, если , и бесконечно малой, если .

1. Пусть . Возьмем произвольное положительное число . Тогда , при всех . Возьмем . Тогда для всех справедлива цепочка неравенств . Следовательно, последовательность является бесконечно большой.

2. Если , то для любого положительного числа и любого номера выполняется неравенство , и последовательность — бесконечно малая. Рассмотрим случай .В этом случае , при всех . Возьмем . Тогда при всех . Следовательно, если , то последовательность является бесконечно малой.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

Свойство 1. Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малой последовательностью.

Свойство 2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Свойства 1,2 непосредственно следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей.

Свойство 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 4. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

Свойство 5. Если { } — бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является бесконечно малой.

Свойство 6. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность бесконечно большая.

Докажем свойство 5. Пусть { } — бесконечно большая последовательность. Поскольку, начиная с некоторого номера, абсолютные величины больше любого положительного числа, то, начиная с этого номера, среди элементов последовательности { } нет нулевых. Тогда, начиная с указанного номера, определена последовательность . Покажем, что бесконечно малая. Возьмем произвольное положительное число . Так как { } — бесконечно большая последовательность, то для любого положительного числа , в частности для найдется номер такой, что для всех номеров справедливо неравенство . Отсюда получим , то есть последовательность бесконечно малая.