4.Последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами обозначают также { }.

Например, — это последовательность , — это последовательность 0, 2, 0, 2, …

Заметим, что числовая последовательность является частным случаем функции. Можно сказать, что последовательность — это функция , определенная на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества вещественных чисел.

Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности. Например, формула задает последовательность

Суммой двух последовательностей и называется последовательность , все элементы которой равны сумме .

Разностью двух последовательностей и называется последовательность , все элементы которой равны разности .

Произведением двух последовательностей и называется последовательность = , частным — последовательность = , причем при определении частного нужно потребовать, чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность называется ограниченной, если найдется положительное число такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство .

Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Предел последовательности

Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , зависящий от , что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству

. (1)

Последовательность , имеющая предел, называется сходящейся последовательностью.

Предел последовательности обозначается символом . Фраза «предел последовательности равен » записывается следующим образом.

, или при .

Неравенство (1) означает, что, начиная с номера , все элементы последовательности находятся внутри интервала , который называют -окрестностью числа .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что в любой -окрестности числа находятся все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера.

Последнее утверждение означает, что, если число — предел последовательности, то за пределами любой его -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.

Последовательность, которая не является сходящейся, называется расходящейся. Из определения 2 следует, что последовательность расходится, если для любого числа найдется его -окрестность, за пределами которой лежит бесконечное число элементов последовательности.

Пример 1. Доказать, что предел последовательности равен 1.

Пусть — произвольное положительное число. Заметим, что при всех . Тогда за номер можно принять натуральное число , где — целая часть числа . Поскольку для произвольного числа мы смогли определить номер такой, что при всех справедливо неравенство , то .

Пример. Доказать, что последовательность расходится.

Действительно, данная последовательность — это последовательность 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, … Пусть . Если, число принадлежит интервалу , то в -окрестность этого числа попадут лишь члены последовательности, равные нулю, а бесконечное число членов, равных 1 или –1, окажутся за пределами -окрестности. Если число принадлежит интервалу (0,9;1,1) или (-1,1;-0,9), то за пределами -окрестности заведомо окажутся все нулевые члены последовательности. При всех остальных значениях числа при достаточно малых значениях в -окрестность не попадет ни одного члена последовательности. Итак какое бы число мы не взяли, для заданного найдется бесконечное число элементов последовательности, не принадлежащих -окрестности числа . Следовательно, рассматриваемая последовательность расходится.