Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если ее предельное значение в этой точке (при ) равно нулю.

Заметим, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то функция является бесконечно малой в точке (при ). Отсюда следует, что если функция имеет в точке (при ) предельное значение , то ее можно представить в виде , где — бесконечно малая функция в точке (при ).

Пример. Функция является бесконечно малой в точке . Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность . По определению предела функции имеем

.

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , все элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Если Функция является бесконечно большой в точке справа (слева), то ее предел считают равным или .

Пример. Функция является бесконечно большой в точке справа и слева. Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность ( ). Тогда последовательность — бесконечно малая, а последовательность — бесконечно большая. Причем , если , и , если . Следовательно, , а .

Дадим теперь определение бесконечно большой функции при .

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Пример. Функция является бесконечно большой при . Действительно, возьмем произвольную бесконечно большую последовательность , все элементы которой положительны. Последовательность значений функции также бесконечно большая. Следовательно, .

7.Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение.

Теорема. Пусть, заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и . Тогда функции , , и имеют в точке предельные значения (частное при условии, что ), равные соответственно , , и .

Докажем, например, что .

Рассмотрим функцию . Для любой последовательности , сходящейся к , принимая во внимание определение предела функции и свойства сходящихся последовательностей, получим

.

Следствие. Если функция имеет в точке предельное значение, равное , то , где — некоторая постоянная.

Действительно, пусть . Воспользовавшись предыдущее теоремой, получим

.

Заметим, что данная теорема также справедлива в случае, когда .

8. Свойства функций, имеющих предельные значения, связанные с неравенствами. Предельный переход в неравенствах.

Будем называть проколотой окрестностью точки , множество точек этой окрестности за исключением самой точки .

Теорема 1. Если функция имеет в точке предельное значение, равное , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то .

Теорема 2. Если функции и имеют в точке предельные значения, равные и , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то .

Теорема 3. Если функции и имеют в точке одинаковые предельные значения, равные , и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство , то функция также имеет в точке предельное значение, равное .

Докажем для примера теорему 3. Две другие доказываются аналогично. Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к , все элементы которой находятся в указанной в теореме проколотой окрестности точки . Тогда , и . По теореме о трех последовательностях существует предел соответствующей последовательности значений функции , равный . Поскольку , то существует предельное значение функции в точке , равное .

Заметим, что теоремы 1-3 справедливы и при , если указанные в их формулировках неравенства выполняются при условии , где — некоторое положительное число.