36. Обслуживающие системы и их классификация (структура и классификация смо, системы с неограниченным временем ожидания, системы с отказами, системы смешанного типа).

Для всякой системы массового обслуживания (СМО) характерна структура, которая определяется составом элементов и связями меж­ду ними. Основными элементами системы являются

• входящий поток требований,

• каналы обслуживания,

• очередь требований,

• выходящий поток требований.

Схематично изображение системы массового обслуживания пока­зано на рис. 11.1.

Каждой из СМО свойственна определенная организация. По составу СМО разделяют на одноканальные и многоканальные. Многоканальные системы могут состоять из каналов одинаковой и разной производительности (пропускной способности). СМО классифицируются по времени пребывания требования в системе до начала обслуживания. Выделяют каналы с неограниченным временем ожидания, каналы с отказами и каналы смешанного типа. В системах с неограниченным временем ожидания очередная заявка, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и дожидается до тех пор, пока один из обслуживающих каналов не освободится. В системах с отказами всякое вновь поступившее требование, застав все приборы занятыми, покидает систему. В системах смешанного типа поступившее требование, застав все приборы занятыми, становится в очередь. Но в ней оно может находиться ограниченное время, после истечения которого, не дождавшись обслуживания, требование покидает систему. В системах с ожиданием используются следующие дисциплины обслуживания: - первым пришел – первым обслужился (данная дисциплина находит наиболее широкое применение и обозначается как FIFO - используется аббревиатура английского названия first input – first output); - дисциплина обслуживания по приоритетам; - случайный выбор обслуживания. При обслуживании по приоритетам в случае поступления в систему требования с более высоким приоритетом обслуживание остальных требований может прерываться либо оно может быть завершено. В редких случаях встречается дисциплина обслуживания «последним пришел – первым обслужился». СМО классифицируются по порядку занятия свободных каналов вновь поступившими требованиями, а именно, - каналы подключаются в строгом порядке, определяемом приоритетом использования; - каналы обслуживают поступившие требования в порядке освобождения; - каналы занимаются в случайном порядке.

37. Входящий поток требований (определение простейшего потока, распределение вероятностей простейшего потока).

Рассмотрим некоторые понятия теории массового обслуживания более подробно. Одно из исходных - понятие входящего потока требо­ваний, который представляет собой совокупность требований, поступа­ющих в систему и нуждающихся в обслуживании. В начальный момент времени в системе может находиться некоторое число требований. Следующее требование поступает через случайное время, которое имеет определенный закон распределения. Случайны также длитель­ности между моментами поступления последовательных требований. Промежутки между поступлениями требований во многих прикладных задачах можно считать взаимно независимыми. Однако существуют примеры, когда это предположение не выполняется. Скажем, при дви­жении потока транспорта через перекресток интервалы между прохож­дением очередных машин будут зависимыми событиями.

В систему массового обслуживания требования могут поступать из конечной или бесконечной совокупности, которая может состоять из различных категорий требований. Требования каждой из категорий могут поступать с различным распределением, по одиночке или в со­ставе группы, и занимать место в очереди в установившемся порядке. Распределение входящего потока требований может зависеть от рас­пределения выходящего потока. Например, в больницу пациенты при­нимаются только при наличии освободившихся мест.

Процесс поступления в СМО потока требований является случайным. Будем рассматривать поток однородных событий, поступающих через случайные промежутки времени. Пусть E - однородные события, следующие одно за другим через случайные промежутки времени. Число n реализаций события E, происходящих в течение интервала времени , является случайной величиной, которую будем обозначать через . Вероятность того, что = n, будем обозначать .

Сделаем следующие предположения. 1. зависит только от величины и не зависит от момента начала отсчета (условие стационарности потока). 2. не зависит от числа реализаций события E, происшедших в любые предшествующие интервалы времени , т.е. случайная величина не зависит от предыстории процесса (условие отсутствия последствий).

3. Вероятность того, что событие E произойдет более одного раза в интервале времени - бесконечно малая величина по сравнению с длительностью интервала . Вероятность того, что событие E произойдет один раз пропорциональна и равна , - константа (условие ординарности потока).

Определим распределение вероятностей для простейшего потока (т.е. определим для различных n, n = 1,2,... ). Для интервала любой длительности справедлива формула полной вероятности.

= 1

Рассмотрим в качестве временного интервала интервал .

= 1

Применим условие ординарности при . при k > 0, следовательно Поскольку было отмечено, что , следовательно, .

Произведем аналогичные вычисления для участка произвольной длительности. Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что в данном интервале произойдет ровно n событий E. Это возможно, когда 1) n событий реализовались в интервале и ни одного события в интервале времени ; 2) n - 1 событие реализовано в интервале и одно событие в интервале времени .

Вероятность того, что в интервале времени не произойдет ни одного события, посчитана и равна . Вероятность того, что в интервале времени произойдет одно событие, равна .

Запишем выражение для определения вероятности того, что на интервале будет зафиксировано n событий

Раскроем скобки: Произведем элементарные преобразования:

(41)

что справедливо для n = 1, 2, .... При n = 0 имеем

(42)

Зададим начальные условия, состоящие в том, что априори постулируется отсутствие требований в начальный момент времени . С учетом начальных условий из последнего уравнения получаем . Далее, подставляя выражение (42) в (41), получаем зависимость для вычисления вероятности нахождения в системе одного требования, и, продолжая процесс вычисления по индукции, приходим к следующим соотношениям: .

Полученные выражения представляют собой распределение Пуассона. Отметим, что величина - среднее число событий E в интервале . Непосредственной подстановкой выражений полученной системы выводим следующую зависимость: . Процесс многократного появления однородных событий через случайные интервалы времени при выполнении условий стационарности, ординарности и отсутствия последействия называется процессом Пуассона