41 Системы массового обслуживания с ожиданием. Установившийся режим.

Система массового обслуживания с ожиданием - это такая система, которая имеет возможность ставить заявки в очередь, где эти заявки ожидают обслуживания. Системы массового обслуживания с ожиданием бывают разомкнутые и замкнутые. Разомкнутая система массового обслуживания – это система с неограниченным источником потока требований. Примерами разомкнутой системы массового обслуживания могут служить пассажиры, покупающие билеты в кассе, покупатели в магазине и т.п. Замкнутая система массового обслуживания – система, в которой поток требований ограничен. Примерами замкнутой системы может служить цех с ограниченным числом станков, которые требуется со временем ремонтировать (поток заявок – это станки, требующие ремонта), компьютерное оборудование некоторого предприятия, которое, выходя из строя, образует поток заявок на обслуживание. В замкнутых системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Установившийся режим. Если при для любого решения уравнений (44), (46) существует предел , то в данной СМО имеет место установившийся режим. Такая система называется статистически устойчивой. Величины P_i называются стационарным решением системы уравнений. Для стационарного решения производные от вероятностей P_i(t), i = 0, 1, 2,... равны нулю, следовательно,

(47)

Решив систему (47), получим

(48)

Отметим, что в любой момент времени система может находиться только в одном из состояний, следовательно, события несовместны.

или

(49)

Подставим из (48) в (49) выражения для соответствующих вероятностей, получим

(50)

Обозначим ; в теории массового обслуживания данный показатель называется коэффициентом использования (загрузки) СМО. Если >1, то установившегося режима не существует. Если <1, то установившийся режим существует и возможно вычисление соответствующих вероятностей. Преобразуем выражение (50). Сгруппируем вероятности в левой части, а единицу перенесем в правую часть

Данное выражение можно переписать так:

.

Рассмотрим знаменатель последнего выражения. Применяя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и подставляя в полученное выражение обозначение для коэффициента загрузки СМО, получим

(51)

Таким образом, рассмотрены основные характеристики разомкнутой системы массового обслуживания с одним обслуживающим каналом. Подведем итог и перейдем к расчету основных числовых характеристик СМО.

42 Системы массового обслуживания с ожиданием. Разомкнутая система с несколькими одинаковыми каналами обслуживания.

Система массового обслуживания с ожиданием - это такая система, которая имеет возможность ставить заявки в очередь, где эти заявки ожидают обслуживания. Системы массового обслуживания с ожиданием бывают разомкнутые и замкнутые. Разомкнутая система массового обслуживания – это система с неограниченным источником потока требований. Замкнутая система массового обслуживания – система, в которой поток требований ограничен. В замкнутых системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Разомкнутая система с несколькими одинаковыми приборами. Рассмотрим обслуживающую систему, состоящую из m параллельно включенных каналов. Предположения относительно входящего потока и распределения времени обслуживания такие же, как в системе с одним каналом, т.е. интенсивность поступления требований . Исследуем случай, когда все каналы обслуживания идентичны и имеют производительность µ. Схема разомкнутой системы с m каналами обслуживания представлена на рис. 3.4. Составим дифференциальные уравнения состояний системы. Обозначим через E_k состояние, при котором в системе обслуживания находится k требований.

За отрезок времени длительностью dt в системе возможны следующие переходы:

Представим граф переходов в виде сетевого графика (см. рисунок 6).

Рисунок 5 - Схема разомкнутой многоканальной СМОс ожиданием

Рассмотрим возможные переходы в системе и припишем каждому переходу соответствующие вероятности:

З апишем систему дифференциальных уравнений для указанных состояний в следующем виде:

Рассмотрим стационарный режим для СМО с несколькими одинаковыми каналами. Приравниваем производные нулю и получаем систему алгебраических уравнений:

Решив данную систему уравнений, получим следующие основные показатели разомкнутой системы массового обслуживания.

1. Вероятность того, что в системе находится k требований, причем число требований меньше или равно числу обслуживающих каналов, . 2. Вероятность того, что в системе находится k требований, причем число требований больше числа обслуживающих каналов , .

3. Вероятность того, что в системе отсутствуют требования P₀, можно получить из условия ,тогда ,откуда….следует . 4. Вероятность того, что все каналы заняты обслуживанием и s требований находится в очереди

. 5. Вероятность того, что время пребывания в очереди больше некоторой заданной величины t . 6. Среднее время ожидания