Площадь круга и его частей

21. Дерево имеет в обхвате 1,2 м. Найдите площадь поперечного сечения в этом месте, имеющего приблизительно форму круга.

22. Часы, установленные на высотном здании Московского государственного университета имеют диаметр около 8,8 м. Найдите площадь, которую занимает циферблат этих часов. Сравните ее с площадью вашего кабинета.

23. Найдите площадь бумажного змея, чертеж которого приведен на рисунке 20 в масштабе 1 клетка = 0,1 м.

24. Из медного квадратного листа вырезали круг наибольшего диаметра. Найдите площадь листа, если площадь круга равна 68,68 см².

25. Сколько нужно семян, чтобы засеять круглую клумбу диаметром 3,2 м, если на 1 см² идет 0,0004 г?

26. Сколько нужно песка, чтобы окружить круглую клумбу прилегающей к ней дорожкой шириной 0,5 м, если на 1 м² требуется 0,8 дм³ песка и наибольший диаметр равен 18 м?

27. В будильнике минутная стрелка длиннее часовой на 8 мм. Найдите длину этих стрелок, если площадь кольца, заключенного между окружностями, которые они описывают, равна 13,5 см².

28. На рисунке 21 изображена мишень. В каком отношении находятся площади ее наименьшего круга и круговых колец, если ширина каждого кольца равна радиусу внутреннего круга.

29. Найдите площади сечений деталей, заштрихованных на рисунке 22, приняв стороны равностороннего треугольника и квадрата за единицу. В случае в) сторона квадрата разделена на три равные части, в случае д) в отношении 1 : 2 : 1.

30. Найдите площади деталей, заштрихованных на рисунке 23.

Координаты и векторы

31. На рисунке 24 изображено колесо карусели, закрепленное в центре O планкой AB, причем AO = OB. По периметру колеса расположены кресла. Докажите, что сумма квадратов расстояний от них до концов планки есть величина постоянная.

32. Проводятся соревнования по ориентированию на местности. Участникам раздали карты, на которых пункты сбора отмечены в вершинах четырехугольника, имеющих координаты A(-2, -5), B(-5, 3), C(3, 9), D(8, -3). Спортсмены разбиты на четыре команды, которые должны начать движение из точек E, F, G и H – середин соответствующих сторон AB, BC, CD и AD четырехугольника – в пункты, расположенные в серединах отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника. Изобразите план и определите координаты точек E, F, G, H, точек – пунктов встреч, а также расстояние, которые прошли команды до места встреч.

33. Определите расстояние между пунктом O и недоступной точкой M, если известны расстояния ( в км) OA, OB и OC, где A, B, C – пункты, расположенные в вершинах треугольника, центроидом которого является точка M. Точки имеют следующие координаты: O(0, 0), A(-7, 8), B(8, 15), C(-4, 1).

34. Участок ABC треугольной формы разделили на две равновеликие части, проведя межу AO (рис. 25). В свою очередь AO тоже разделили пополам вехой M и провели межу BM, которая пересекла AC в точке D. Докажите, что .

35. К одной точке приложены три силы P₁ = 30H, P₂ = 50H, P₃ = 30H, располагающиеся в одной плоскости. Углы между соседними силами равны 120°. Найдите величину и направление равнодействующей силы.

36. Какую силу нужно приложить к прямолинейному направлению движения под углом: а) 45°; б) 60°, чтобы на пути в 1 км она совершила работу, равную 200 Дж?

37. Под каким углом нужно приложить силу в 20 H к прямолинейному направлению движения, чтобы на пути в 50 м она совершила работу в 100 Дж?

38. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что векторы + 2 и 5 - 4 перпендикулярны.

39. Какой геометрический смысл имеет формула: а) ( + )( – ) = ² + ²; б) ( + )² + ( – )² = 2( ² + ²)?

40. Под каким углом видит путешественник береговую полосу AB с корабля K, если KAB – равнобедренный треугольник, медианы которого, проведенные к боковым сторонам перпендикулярны (рис. 26).