Задачи на вычисление

21. В треугольнике ABC ÐA = 80°, ÐB = 40°. Из вершины C проведены высота CH и биссектриса CL. Найдите угол HCL.

22. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на его диагональ, основание которого делит ее в отношении 1 : 3. Найдите диагонали прямоугольника, если расстояние от точки их пересечения до большей стороны равно 4,8 см.

23. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, большее основание меньше периметра на m см, а средняя линия равна n см. Найдите основания трапеции.

24. Одна из двух хорд, образующих вписанный угол, делит окружность в отношении 3 : 13, другая – в отношении 4 : 21. Найдите данный угол.

25. Расстояния от центроида треугольника до его сторон относятся как 2 : 3 : 4. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 117 см.

26. Даны две параллельные прямые a и b. Из точки A, принадлежащей прямой a, проведены перпендикуляр AH и наклонная AB к прямой b. Из точки B проведена наклонная BC к прямой a, которая пересекает перпендикуляр AH в точке D. Найдите угол ABH, если DC = 2AB и ACD = a.

27. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на BM взята точка K такая, что BK : KM = 1 : 2. Прямая AK пересекает BC в точке L. Найдите отношение BL : LC.

28. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Точки касания являются вершинами четырехугольника, площадь которого равна площади трапеции. Найдите отношение ее оснований.

29. Найдите площадь треугольника по двум его сторонам a и b и биссектрисе l угла между ними.

30. Найдите периметры и площади заштрихованных фигур, изображенных на рисунке 30. Объясните, как они построены, изобразите их.

 

ОТВЕТЫ

2. Воспользуйтесь рисунком 59. 3. Воспользуйтесь рисунком 60. 6. Воспользуйтесь рисунком 61. 7. Воспользуйтесь рисунком 62. 14. Решение показано на рисунке 63. 17. Решение показано на рисунке 64. 18. Решение показано на рисунке 65. 21. 20°. 22. 19,2 см. 23. 4n – m, m – 2n. 24. 117°27’. 25. 27 см, 36 см, 54 см. 26. 3a. 27. 1 : 4. 28. 1 : 3. 29. . 30. а) 2pa, ; б) 4pR, R²(2 -3 ).

 

§ 8. Рефераты по геометрии

Помимо традиционной формы сдачи экзамена по билетам, учащимся может быть предложена другая, альтернативная форма – экзамен в виде реферата. Как правило, такой экзамен выбирают учащиеся, интересующиеся математикой, имеющие высокий уровень усвоения программного материала, хорошие и отличные итоговые оценки.

В подготовке реферата выделяются следующие основные этапы:

1. Выбор темы реферата из предложенного перечня.

2. Составление плана работы, предусматривающего промежуточную аттестацию руководителем – учителем математики.

3. Разработка структуры реферата.

4. Подбор необходимой литературы.

5. Написание текста реферата.

6. Сдача реферата на отзыв руководителю.

7. Защита реферата.

Учащимся, выбравшим экзамен в виде защиты реферата, заранее предлагается список возможных тем, утвержденный Педагогическим советом школы. По усмотрению учителя это можно сделать, например, в начале второго полугодия 9-го класса. Тема реферата может быть непосредственно связана с изучаемым материалом, углубляя, расширяя и дополняя его. Вместе с тем, она может выходить за рамки предусмотренной программы и касаться исторических аспектов математики, ее ярких приложений, богатых связей с современностью и т.п. Предложенные темы должны удовлетворять запросы, склонности, интересы учащихся.

Приведем пример возможного перечня тем рефератов по геометрии для девятиклассников.

1. Замечательные точки треугольника.

2. Задачи на построение.

3. Геометрические места точек.

4. Удивительный квадрат.

5. Некоторые теоремы об окружности.

6. Решение задач с помощью дополнительных построений.

7. Геометрические преобразования на плоскости.

8. Правильные и полуправильные многоугольники.

9. Вписанные и описанные многоугольники.

10. Задачи на векторный метод.

11. Задачи на координатный метод.

12. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

13. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

14. Геометрические задачи на максимум и минимум.

15. Симметрия на плоскости.

16. Задачи Л. Эйлера.

17. Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола.

18. Золотое сечение.

19. Аналитическое задание фигур на плоскости (прямой, окружности, параболы, эллипса, гиперболы).

20. Различные доказательства теоремы Пифагора.

21. Паркеты из многоугольников.

22. Циклоидальные кривые.

23. Раскраска карт на плоскости.

24. Элементы теории графов.

25. Элементы стереометрии.

После выбора темы реферата учащийся со своим руководителем составляют индивидуальный план работы, т.е. оговариваются календарные сроки сдачи подготовленного материала и время необходимых консультаций.

Поскольку для учащихся 9-го класса написание такого реферата – это одно из первых серьезных исследований, хорошо, если учитель сам предложит структуру работы и порекомендует нужную литературу. В оглавлении реферата не должно быть много пунктов, оптимально 4-6. Объем реферата – приблизительно 20 – 30 страниц.

Одной из целей написания реферата является знакомство учащихся с научно-популярной литературой и формирование умения с ней работать. Это важная составляющая исследования. В связи с этим учитель может сам предложить учащимся структуру реферата по выбранной теме и рекомендовать литературу.

Рассмотрим примерные планы и списки литературы для указанных тем. В качестве дополнительной литературы можно использовать лекции по элементарной геометрии для студентов педагогических вузов, помещенные на данном сайте.

 

Тема «Замечательные точки треугольника»

План

1. Четыре замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центр тяжести (центроид) и ортоцентр.

2. Теорема Чевы.

3. Теорема Менелая.

4. Теоремы о пересечении в одной точке: а) медиан; б) биссектрис; в) высот треугольника. Различные доказательства.

5. Прямая Эйлера.

Литература

1. 1.     Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-изд. – М.: Просвещение, 1996, с. 407.

2. 2.     Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. – М.: Просвещение, 1996, с. 92.

3. 3.     Готман Э.Г. Прямая Эйлера /Математический кружок: Геометрия. Выпуск 1. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 23. (Приложение к журналу «Квант». – 1998. - № 1).

4. 4.     Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 156.

5. 5.     Шарыгин И.Ф. Узнайте точку /Математический кружок. – М.: Бюро Квантум, 1999, с. 46. (Приложение к журналу «Квант». – 1999. - № 3).

 

Тема «Задачи на построение»

План

1. Простейшие задачи на построение.

2. Основные этапы решения задачи на построение.

3. Различные методы решения задач на построение.

4. Примеры решения задач на построение.