- •Введение
- •Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики
- •1.1. Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры
- •1.2. Аксиоматический метод
- •1.3. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции
- •Метод математической индукции
- •1.4. Роль математики в современном мире
- •Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
- •2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
- •2.2 Понятие об измерении. Виды измерений. Приближенные вычисления
- •2.3. Понятие математической модели. Этапы математического моделирования
- •2.4. Виды математических моделей
- •Тема 3. Основы теории множеств и математической логики
- •3.1. Основные понятия теории множеств
- •Подмножество. Универсальное множество
- •3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
- •Объединение (сумма) множеств
- •Разность двух множеств. Дополнение
- •Законы теории множеств
- •3.3. Отношения и соответствия. Функции как соответствия
- •3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции
- •Простые и составные высказывания
- •Логические операции
- •Порядок старшинства операций
- •Основные законы математической логики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики
- •4.1. Выборки и подмножества
- •Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента
- •4.2. Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •4.3. Основные правила комбинаторики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Выборки с повторениями
- •Тема 5. Случайные события и их вероятности
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •Правила действий над событиями
- •Аксиомы теории вероятностей
- •5.2. Классическое определение вероятности
- •5.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •5.3. Операции над вероятностями
- •Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.
- •Вероятность произведения событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
- •5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение Формула Бернулли
- •Геометрическое распределение
- •Кривая нормального распределения
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 6. Элементы математической статистики
- •6.1. Возникновение математической статистики
- •6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
- •Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики
- •6.4. Статистическая информация и формы ее представления
- •6.5. Числовые характеристики статистических рядов
- •2. Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение .
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Список литературы
- •Ресурсы Интернета
1.2. Аксиоматический метод
В любой науке, в том числе и математике, существуют основные понятия, которые принимаются за начальные (неопределяемые). К таким понятиям, например, относятся: точка в геометрии, прямая в планиметрии, плоскость в стереометрии, материя в физике, информация в информатике.
Все остальные понятия определяются, опираясь на начальные. Каждое математическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.
При построении любой теории выделяется некоторый набор высказывания, истинность которых постулируется. Такие принимаемые без доказательства высказывания, называются аксиомами. Например, в евклидовой геометрии аксиомой является следующее утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории выводятся логическим путём, посредством доказательств, называется аксиоматическим методом.
Так, например, «Начала» Евклида начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие понятия", остальные называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Система, в которой каждое предложение выводится из конечного числа предложений, принятых без доказательства, называется дедуктивной.
Аксиоматический метод впервые появился в "Началах" Евклида (около 300 до нашей эры). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных научных разделов (Спиноза, Ньютон и др.).
Начиная со второй половины XIX в., в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. XX в. — как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций.
При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. В начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.
В данном пособии рассматриваются элементы следующих математических теорий, которые можно построить аксиоматически: теории множеств, алгебры высказываний, теории вероятностей.
Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Она осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последнее время большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и других, включая теории структуры и динамики научного знания.