- •Введение
- •Тема 1. Математика в современном мире: основные разделы, теории и методы математики
- •1.1. Объекты исследования математики: абстрактные понятия и абстрактные структуры
- •1.2. Аксиоматический метод
- •1.3. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции
- •Метод математической индукции
- •1.4. Роль математики в современном мире
- •Тема 2. Математические средства представления информации. Понятие математической модели
- •2.1. Числа, переменные величины, выражения. Числовые функции
- •2.2 Понятие об измерении. Виды измерений. Приближенные вычисления
- •2.3. Понятие математической модели. Этапы математического моделирования
- •2.4. Виды математических моделей
- •Тема 3. Основы теории множеств и математической логики
- •3.1. Основные понятия теории множеств
- •Подмножество. Универсальное множество
- •3.2. Основные операции над множествами Равенство множеств
- •Объединение (сумма) множеств
- •Разность двух множеств. Дополнение
- •Законы теории множеств
- •3.3. Отношения и соответствия. Функции как соответствия
- •3.4. Алгебра высказываний. Логические операции и логические функции
- •Простые и составные высказывания
- •Логические операции
- •Порядок старшинства операций
- •Основные законы математической логики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 4. Структуры на множестве. Элементы комбинаторики
- •4.1. Выборки и подмножества
- •Упорядоченная и неупорядоченная выборки. Кратность элемента
- •4.2. Размещения, перестановки, сочетания
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •4.3. Основные правила комбинаторики
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Выборки с повторениями
- •Тема 5. Случайные события и их вероятности
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •Правила действий над событиями
- •Аксиомы теории вероятностей
- •5.2. Классическое определение вероятности
- •5.2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •5.3. Операции над вероятностями
- •Вероятность суммы случайных событий Теорема сложения вероятностей.
- •Вероятность произведения событий
- •Формула полной вероятности
- •Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)
- •5.4. Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиальное распределение Формула Бернулли
- •Геометрическое распределение
- •Кривая нормального распределения
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Тема 6. Элементы математической статистики
- •6.1. Возникновение математической статистики
- •6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
- •Предмет статистики. Основная задача и основной метод статистики
- •6.4. Статистическая информация и формы ее представления
- •6.5. Числовые характеристики статистических рядов
- •2. Среднее квадратическое (или стандартное) отклонение .
- •Упражнения для самостоятельного выполнения:
- •Список литературы
- •Ресурсы Интернета
6.2. Статистический эксперимент, его исходы и события
Эксперимент (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений). Эксперимент называется статистическим, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.
Например, нас интересует, сколько раз в результате подбрасывания, монета упадет «орлом» вверх. Условия эксперимента: одна и та же монета, одна и та же поверхность, на которую падает монета, отсутствие сильных внешних воздействий (ветра, магнитных полей и пр.) Наблюдаемый признак: верхняя сторона монеты после ее падения. Этот признак имеет два возможных значения «орел» или «решка», которые можно обозначать 1 и 0. Эксперимент можно повторять любое число раз ничего в нем не меняя, практически в одних и тех же условиях.
Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
Событием, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством. Так как таким свойством могут обладать несколько исходов, то одно и то же событие может появиться при разных исходах эксперимента, а при других исходах событие не появится. Более того, если мы определим несколько разных событий в данном эксперименте, то два и более событий могут появиться одновременно, если исход, которым закончился эксперимент, обладает сразу несколькими свойствами, соответствующими разным событиям.
Пример. Бросаем шестигранный игральный кубик. Исходы эксперимента – номер грани кубика, оказавшейся сверху после его остановки; возможно 6 разных исходов.
Определим интересующие нас события:
А – выпало четное число очков (исходы 2,4,6);
В – выпало число очков, кратное 3 (исходы 3,6);
С – выпало более 4 очков (исходы 5,6).
Бросаем кубик. Если выпадает 1 очко, то не произойдет ни одно из интересующих нас событий (то есть эксперимент может закончиться без появления каких-то событий, но он никогда не может закончиться без появления одного из исходов!).
Если выпадет 2 очка, то произойдет только одно событие А.
Если выпадет 6 очков, то произойдут сразу три события А,В,С, то есть эксперимент может закончиться появлением сразу нескольких событий, но он никогда не может закончиться появлением сразу нескольких исходов.
Следует отличать событие от исхода. Следует также иметь в виду, что в конкретном эксперименте могут появляться только такие события, которые могут быть определены через свойства исходов этого эксперимента, и количество событий, возможных в данном эксперименте, не произвольно, а определяется числом исходов эксперимента (например, в эксперименте с n исходами возможно 2n разных событий).
Различают события детерминированные (определенные), которые обязательно происходят при каждом проведении опыта (брошенное сверху тело летит вниз, вода закипает при нагревании и т.д.) Случайные события, которые могут происходить или не происходить по каким-то причинам в результате опыта, который можно повторять многократно в практически неизменных условиях. В противном случае событие следует считать неопределенным (исход футбольного матча).
Основным свойством случайного события является степень возможности его появления, именно от нее зависит, насколько часто событие будет появляться при повторении испытаний. Численной мерой этого свойства и является вероятность, то есть вероятность – это мера возможности появления случайного события.