Тема 3. Основы теории множеств и математической логики

3.1. Основные понятия теории множеств

Понятие «множества» в математике и есть одно из самых простых, первоначальных и общих. Часто в повседневной жизни нам приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве предметов, находящихся на столе, множестве студентов, присутствующих в данный момент в аудитории, множестве звезд, наблюдаемых на небе, множестве всех точек, равноудаленных от данной, множестве всех клеток человеческого организма и т.д. Человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект. Совокупность кофейника, молочника, сахарницы, шести чашек и блюдец мы называем сервизом. Буквы А, Б, В, Г, Д, и т.д. объединяем в алфавит. Не случайно каждую из этих совокупностей мы называем существительным в единственном числе: сервиз, алфавит. Основное и самое существенное в понятии множества – это факт объединения различных объектов в одно целое.

Основатель теории множеств немецкий математик и философ Георг Кантор писал: «Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона». Перефразируя Кантора можно сказать, что

множество — совокупность определенных, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающая некоторым общим свойством.

В приведенном определении можно выделить три важных признака, характеризующих понятие множества:

1. объекты, входящие во множество, определенные — т. е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет;

2. объекты, входящие во множество, различимы между со­бой — т. е. во множестве не может быть двух или более одина­ковых объектов;

3. все объекты, входящие во множество, мыслятся как еди­ное целое — т. е. во множестве абстрагируются от свойств от­дельных объектов, но говорят об общем свойстве множества, как единого целого; такое общее свойство называют характе­ристическим.

Например, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек дан­ной прямой.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Объекты, входящие во множество, называют элементами и их обозначают строчными буквами. Книги данной библиоте­ки, вершины данного многоугольника, натуральные числа, точ­ки данной прямой являются элементами соответствующих мно­жеств.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, на­зывается конечным, в противном случае множество называет­ся бесконечным.

Если множество содержит конечное число элементов, то оно может быть задано перечислением его элементов. Элементы множества выписываются подряд, разделяются запятыми, зак­лючаются в фигурные скобки; порядок записи при этом роли не играет. Например, множество А, состоящее из трех букв а, б, в, может быть записано так:

А = {а, б, в).

Тот факт, что объект а является элементом множества А, записывается так: а А,и читается «а принадлежит множеству А», или «а входит в множество А». Запись а А означает, что а не является элементом множества А.

Множество может содержать и всего лишь один элемент.

Множество может быть задано при помощи правила, по­зволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. При записи правило, задающее множество, отделяется вертикальной чертой. Например, пусть множество В есть множество решений уравнения х2 - 5х + 6 = 0. Тогда можно записать так:

В = {х х2-5х + 6 = 0}.

Элементами множества В, корнями квадратного уравнения, являются числа 2 и 3, т.е. В = {2,3}.

Может оказаться, что множество определено таким свой­ством, которым не обладает вообще ни один объект. Рассмот­рим, например, множество треугольников, длины сторон кото­рых равны 1 см, 2 см, 5 см. Из геометрии известно, что тре­угольника с такими длинами сторон не существует, т. е. так оп­ределенное множество не содержит ни одного элемента. Говорят, что эти множества пустые. Пустое множество не содержит элементов, оно обозначается знаком Ø.