Геометрическое распределение

Пример 31. Стрелком производятся выстрелы по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в каждом выстреле равна p=0,6. Построить ряд распределения количества произведенных выстрелов.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число произведенных выстрелов до первого попадания. Возможными значениями Х являются натуральные числа =1, =2, =3, …. Множество значений Х является бесконечным счетным множеством, как и ряд натуральных чисел.

Вероятность того, что случайная величина принимает значение =1, т.е. попадание происходит при 1-м выстреле, по условию задачи равна =p=0,6. Вероятность принятия случайной величиной значения =2 (попадание происходит при 2-м выстреле) подсчитывается как вероятность сложного события по теореме умножения вероятностей. Непопадание в мишень в первом выстреле и попадание во втором – события независимые. Поэтому =(1–p) ×p=(1–0,6)×0,6=0,4×0,6=0,24. Аналогичным образом находятся вероятность значения случайной величины =3: =(1–p) ×(1–p) ×p=(1–0,6)× (1–0,6)×0,6=0,4×0,4×0,6=0,096, вероятность = ×0,6= ×0,6=0,0384, = ×0,6= ×0,6=0,01536 и т.д.

Подсчитаем вероятность того, что случайная величина принимает значение =k. Это означает, что попадание произошло лишь в k-м выстреле, а до этого был k-1 промах. Так как все выстрелы независимы друг от друга, то по теореме умножения вероятностей = .

Таким образом, ряд распределения случайной величины запишется так:

X	1	2	3	4	5	…	k	…
p	0,6	0,24	0,096	0,0384	0,01536	…		…

Многоугольник распределения случайной величины построен на рис.5.4 до значения =5 (множество значений дискретной случайной величины – бесконечное)

Рис. 5.4

Можно заметить, что ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины, образует бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,4 и первым членом p=0,6:

0,6; 0,6×0,4; 0,6× ; 0,6× ; 0,6× ; … .

Поэтому распределение случайной величины в примере (6.5) называют геометрическим.

Геометрическим называется распределение вероятностей случайной величины Х, которое определяется следующим законом:

, k³1.

Здесь p – вероятность наступления события А, q - вероятность того, что событие А не произойдет: q=1–p. Случайная величина Х определяется как число независимых испытаний, которые нужно произвести до первого появления события А.

Очевидно, что возможными значениями Х является множество натуральных чисел xÎN. То, что случайная величина принимает значение =k, означает, что в первых k-1 испытаниях А не наступило, а в k-м появилось. Вероятность этого подсчитывается по теореме умножения вероятностей для независимых событий: = . Сумма вероятностей всех значений определяется по формуле суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом p:

+ +…+ +…= = = =1.