Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате проявления одного и только одного события Н_i (i = 1,2,... n) из некоторой полной группы несовместных событий H₁, H_2,… H_n. События этой группы обычно называют гипотезами.

Формула полной вероятности. Вероятность события А рав­на сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, об­разующих полную группу, на соответствующие условные ве­роятности данного события А:

Р(А) = , где = 1.

Пример 24.

Имеется 3 одинаковые урны. В первой — 2 белых и 1 чер­ный шар, во второй — 3 белых и 1 черный шар, в третьей урне — 2 белых и 2 черных шара. Из выбранной наугад урны выбира­ется 1 шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение.

1) Гипотезой Н_i будем считать выбор i-й урны.

Все урны считаются одинаковыми, следовательно, вероят­ность выбрать i-ю урну есть

Р(H_i) = 1/3, где i = 1, 2, 3.

2) Вероятность вынуть белый шар из первой урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: (А) = .

Вероятность вынуть белый шар из третьей урны: (А) = .

3. Искомая вероятность:

Р(А) = =0.63(8)

Пример 25.

В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик, относительные доли которых: I — 50%, II — 30%, III — 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет: I — 2%, П — 2%, III — 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, случайно приобретенное в магазине, окажется доб­рокачественным (событие А)?

Решение.

1) Здесь возможны следующие три гипотезы: H₁, H_2, H₃ — приобретенная вещь выработана соответственно на I, II, III фабриках; система этих гипотез полная.

Вероятности: P(H₁) = 0,5; Р(Н₂) = 0,3; Р(Н₃) = 0,2.

2. Соответствующие условные вероятности события А рав­ны: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (А) = = 1-0,05 = 0,95.

3. По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = 0,5 • 0,98 + + 0,3• 0,97 + 0,2 • 0,95 = 0,971.

Формула апостериорной вероятности (формула Бейеса)

Рассмотрим ситуацию.

Имеется полная группа несовместных гипотез H₁, H_{2, …}H_n, вероятности которых (i = 1, 2, ... п) известны до опыта (вероят­ности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события А, причем изве­стно, что этому событию наши гипотезы приписывали опреде­ленные вероятности (i=1, 2, ...п). Каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (вероятности апостериори)?

Ответ на подобный вопрос дает формула апостериорной вероятности (формула Бейеса):

, где i=1,2, ...п.

Пример 26.

Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле для 1-го ракетного комплекса (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие В) — 0,1. Каждый из комплексов производит по одно­му выстрелу, причем зарегистрировано одно попадание в само­лет (событие С). Какова вероятность, что удачный выстрел при­надлежит первому ракетному комплексу?

Решение.

1) До опыта возможны четыре гипотезы:

H₁ = А В — самолет поражен 1 -м комплексом и самолет поражен 2-м комплексом (произведение соответствует логичес­кому «и»),

H₂ = А В — самолет поражен 1 -м комплексом и само­лет не поражен 2-м комплексом,

H₃ = А В — самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет поражен 2-м комплексом,

H₄ = А В — самолет не поражен 1 -м комплексом и са­молет не поражен 2-м комплексом.

Эти гипотезы образуют полную группу событий.

2) Соответствующие вероятности (при независимом действии комплексов):

Р(H₁) = 0,2 0,1 = 0,02;

Р(H₂) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

Р(Н₃) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

Р(H₄) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Так как гипотезы образуют полную группу событий, то должно выполняться равенство = 1.

Проверяем: Р(H₁) + Р(Н₂) + Р(H₃) + Р(H₄ ) = 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 = 1, таким образом, рассматриваемая группа гипо­тез верна.

4) Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных гипотезах будут: (С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H₁, предполагает два попадания:

(С) = 1; (С) = 1.

(С) = 0, так как по условию задачи зарегистрировано одно попадание, а гипотеза H₄ предполагает отсутствие попаданий. Следовательно, гипотезы H₁, и H₄ отпадают.

5)Вероятности гипотез H₂ и H₃ вычисляем по формуле Бейеса:

0,7, 0,3.

Таким образом, с вероятностью приблизительно 70% (0,7) можно утверждать, что удачный выстрел принадлежит первому ракетному комплексу.