5.3.4. Задача мінімізації витрат пального літаком при набиранні висоти і швидкості

Нехай літак, який знаходиться на висоті і має початкову швидкість V₀, повинен піднятися на висоту і досягти швидкості . Відомі витрати пального на підняття літака з довільної висоти на висоту при сталій швидкості, а також витрати пального при збільшенні швидкості від довільного значення до значення на заданій висоті. Потрібно знайти таке оптимальне управління набиранням висоти і швидкості, при якому загальні витрати пального були б мінімальними.

S

			...

₀

Рис.5.1.

Стан розглядуваної системи характеризується двома параметрами: швидкістю і висотою . Виходячи з цього, розв’язок будемо знаходити на координатній площині , в області D= , яка представляє область допустимих розв’язків задачі (станів). Початковий стан S ( ) і кінцевий S ( , ) на площині визначають конкретні дві точки S і S ( рис.5.1. ).

Щоб віднайти розв’язок, розіб’ємо відрізки [ ] і [ ] на n і на n рівних частин (етапів) і будемо вважати, що за один етап літак може збільшити висоту на величину =( – )/ n , або швидкість на величину

=( – )/n . Очевидно, що існує ціла множина траєкторій, які представляють собою сукупність ламаних ліній, по яких точка S може переміщатися з початкової точки S в кінцеву – S . Розв’язування задачі полягає в тому, що із множини управлінь потрібно вибрати таке, при якому загальні витрати пального W складаються з витрат пального на кожному етапі і будуть мінімальними. Можна простим перебиранням розглянути всі можливі траєкторії від S до S , визначивши при цьому витрати пального для кожної з них, і вибрати те управління, яке забезпечує найменші витрати.

Такий підхід до знаходження розв’язку задачі є складним, оскільки при великих n і n потребує значних часових затрат, навіть з використанням ПК. Набагато простіше розв’язок отримується методом ДП.

5.3.5. Задача заміни обладнання

Прийняття рішення про заміну обладнання визначається такими чинниками, як продуктивність цього обладнання, експлуатаційні витрати, залишкова вартість обладнання, яка залежить від часу його експлуатації, і вартість нового обладнання.

Нехай r(t) – вартість продукції, що випускається за рік на одиниці обладнання, вік якого t років; l(t) – річні витрати на обслуговування цього обладнання; s(t) – залишкова вартість обладнання; p – вартість нового обладнання.

Потрібно визначити оптимальний цикл заміни обладнання на період часу тривалістю N років так, щоб за цей час дохід від використання обладнання, вік якого t років, був максимальним.

В даній задачі вік обладнання будемо розглядати в прямому напрямку, а етапи, на які розбивається процес, – в зворотному. Таким чином, вік t=0 відповідає початку використання нового обладнання.

Складемо функціональне рівняння. Для цього знайдемо залежність між величинами, що входять в умову задачі на двох суміжних етапах. Якщо зберегти обладнання, вік якого t років, то дохід підприємства від його використання буде складатися з доходу на N-му етапі, рівного r(t)–l(t), і отриманого за N–1 етапів, при роботі на обладнанні, вік якого t+1 років, тобто

(t)=r(t)–l(t)+ (t+1). (5.12)

Якщо на -му етапі обладнання, вік якого t років, замінити новим, то дохід після такої заміни складається з доходу, отриманого як різниця сумарних вартостей s(t)+r(0) –p– l(0), де r(0) – вартість продукції, виготовленої на обладнанні, вік якого 0 років, а l(0) – експлуатаційні витрати, і доходу, отриманого за –1 етапів, що залишилися при роботі на обладнанні, вік якого 0+1 рік, тобто

=s(t) – p +r(0) – l(0) + (5.13)

Таким чином, якщо величина доходу (5.12) більша чи рівна величині доходу (5.13), то потрібно працювати на старому обладнанні, в іншому випадку обладнання необхідно замінити.

Об’єднавши (5.12) і (5.13), запишемо основне функціональне рівняння

f (t)= (5.14)

де верхній рядок визначає дохід, який може бути отриманий при роботі на старому обладнанні, нижній – при його заміні. При цьому припускається, що перехід до роботи на новому обладнанні відбувається за один етап.

Поклавши в (5.14) =1, отримаємо функціональне рівняння одноетапного процесу, для якого доданки f i f не мають змісту, а тому із рівняння (5.14) виключаються:

(5.15)

Рівняння (5.14) і (5.15) дозволяють визначити величину в залежності від де при переході від одного етапу до другого вік обладнання збільшується від t до t+1, а число етапів, що залишилися, зменшується від до –1.

Зауваження 5.1. Якщо в задачі заміни обладнання вважати, що вік обладнання t і етапи відраховувати в прямому напрямку, то функціональне рівняння буде:

f (t)=max (5.16)

де верхній рядок визначає дохід при збереженні обладнання, нижній – при його заміні. Тут r (t) – вартість продукції, що виготовлена на -му етапі на одиниці обладнання, вік якого t років; l (t) – витрати на обслуговування одиниці обладнання, вік якого t років на N-му етапі; (t+1) – дохід, отриманий на (N+1) -му етапі (рахуючи від кінця процесу), при роботі на обладнанні, вік якого (t+1) років; r (0) – вартість продукції, виготовленої на одиниці нового обладнання, вік якого – 0 років; u (t) =р - S (t) – витрати на заміну на -му етапі обладнання , вік якого - t років.

Зауваження 5.2. За допомогою функціональних рівнянь можна розв’язувати задачі заміни обладнання, які враховують різні фактори: вік обладнання, що закуповується, ремонт старого обладнання, обмеженість суми на придбання обладнання і т.д.

Нехай q (x; t) – ціна обладнання, (вік якого х років), що закуповується для заміни обладнання, вік якого - t років. В цьому випадку є три можливості: зберегти старе обладнання, купити нове, купити обладнання, вік якого х років. Розіб’ємо розглядуваний проміжок часу на N етапів. Тоді функціональне рівняння буде мати вигляд

(t)=max (5.17)

де перший рядок визначає дохід при збереженні обладнання, другий – при заміні новим обладнанням, третій – при заміні обладнанням, вік якого – років.

Нехай f (t ; t ) – величина доходу, яка може бути отримана при роботі на обладнанні, вік якого t років, останній ремонт якого проводився, коли його вік був t років. В цьому випадку можливі варіанти: зберегти, замінити і ремонтувати обладнання. Ці перспективи описуються за допомогою наступного функціонального рівняння:

f (t ;t )=max (5.18)

де (t ,t ) – вартість ремонту на -му етапі обладнання, вік якого t років, останній ремонт якого проводився в момент, коли воно прослужило t років. Інші позначення зберігають той самий зміст, що і раніше. В функціональному рівнянні (5.18) перший рядок визначає дохід при збереженні обладнання, другий – при заміні його новим обладнанням, третій – при ремонті.

Зауваження 5.3. Припустимо, що капітальні витрати на закупівлю обладнання обмежені деякою сумою М=С–С , де С – сума , що є на початку процесу; С - сума, витрачена на -му етапі. Тоді задача заміни обладнання описується функціональним рівнянням

f (t,C)=max (5.19)

в якому верхній рядок визначає величину доходу при збереженні, а нижній – при заміні обладнання.