4.4. Метод множників Лагранжа. Економічний зміст множників Лагранжа

Розглянемо наступну ЗНП: знайти найбільше значення цільової функції

(4.20)

при обмеженнях

, (4.21)

Оскільки обмеження задачі задані рівняннями, то для знаходження розв’язку задачі можна скористатися класичним методом знаходження умовного екстремуму для функцій багатьох змінних. При цьому будемо припускати, що функції , , неперервні разом зі своїми першими частинними похідними. Для знаходження розв'язку задачі складемо функцію Лагранжа (4.7).

Знайшовши частинні похідні і , за виконання умов (4.8) і (4.9) систему (4.10) запишемо у вигляді

(4.22)

яка задає необхідні умови того, щоб функція (4.20) в точці досягала локального умовного екстремуму.

Якщо для функцій і існують частинні похідні другого порядку і є неперервними та виконуються достатні умови існування локального екстремуму функції в точці , координати якої є розв'язком системи (4.22), а саме, якщо другий диференціал функції в точці є додатно (від’ємно) визначена квадратична форма, то є точкою локального мінімуму (максимуму), якщо ж квадратична форма невизначена, то в точці екстремуму не існує.

Наведемо алгоритм розв'язування задачі (4.20) — (4.21) методом множників Лагранжа:

1) записати функцію Лагранжа (4.7);

2) знайти частинні похідні і , і розв'язавши отриману систему (4.22), знайти всі стаціонарні точки функції Лагранжа;

3) із стаціонарних точок, взятих без множників вибрати ті, в яких функція Лагранжа (4.7) досягає умовного локального екстремуму.

Дамо тепер економічну інтерпретацію множників Лагранжа. Для цього розглянемо задачу: знайти найбільше значення функції при обмеженнях .

Припустимо, що умовний екстремум досягається в точці і рівний , а величина в обмеженні може змінюватися. Тоді координати точки екстремуму і екстремальне значення стануть залежними від : тобто

. (4.23)

Оскільки , то

(4.24)

Крім того, в точці екстремуму , виконуються необхідні умови (4.22).Звідки для і отримаємо

(4.25)

Підставляючи (4.25) в (4.23) і враховуючи (4.24), отримаємо:

Аналогічно для задачі (4.20)–(4.21) одержимо

Якщо інтерпретувати як дохід або вартість, а – як об'єми деяких ресурсів, то множники Лагранжа , показують, як зміниться максимальний дохід (або мінімальна вартість), якщо кількість ресурсу –го виду збільшиться на одиницю.

4.5. Графічний метод розв'язування задач нп

Як було зазначено вище, для ЗНП не існує єдиного методу їх розв'язування. Коли число змінних задачі , то скористаємося графічним методом, алгоритм якого наступний:

1) будуємо область допустимих розв’язків задачі і лінії рівня для цільової функції.

2) в точці або сукупності точок, де лінія рівня перший раз торкнеться області допустимих розв'язків, цільова функція буде набувати мінiмального значення. Підставивши координати точок дотику в цільову функцію, знайдемо величину мінімуму.

3) підставивши в цільову функцію координати тих точок, в яких лінія рівня останній раз торкнеться області допустимих розв'язків, отримаємо величину глобального максимуму.

Приклад 4.6. Знайти найменше значення функції при обмеженнях

Розв'язок. Область допустимих розв'язків представляє собою многокутник АВСЕ (рис. 4.1). Побудуємо лінії рівня цільової функції, поклавши . Отримаємо рівняння кола . Збільшуючи чи зменшуючи значення с( квадрат радіуса), ми будемо збільшувати чи зменшувати значення цільової функції, тобто лінії рівня є колами з центром у точці М(4; 6) та радіусами . Провівши з точки M, концентричні кола різних радіусів, одержимо, що мінімальне значення функція f набуває в точці D, в якій коло дотикається до області розв’язків. Точка D не є кутовою, її координати знайдемо, розв’язавши систему рівнянь

Тут є тим значенням, при якому коло дотикається області розв’язків у точці D. З другого рівняння системи

.

Підставивши його в перше рівняння, отримаємо:

.

Звідси, шляхом нескладних перетворень приходимо до квадратного рівняння відносно :

.

Оскільки D – це точка дотику кола і прямої, то отримане рівняння повинно мати єдиний розв’язок, а це можливо тоді, коли дискримінант дорівнює нулю.

Маємо рівняння

.

_{Звідси знаходимо функція набуває в точці} .

Рис. 4.1.

Рис. 4.2.

Розв'язок перевіримо методом множників Лагранжа. Врахувавши, що найменше значення досягається на прямій , отримаємо нову задачу: знайти найменше значення функцїї при умові Будуємо функцію Лагранжа (4.7) .

.

Тоді система рівнянь (4.10) має вигляд

або

а її розв'язок Точка D з координатами – стаціонарна точка. ЇЇ координати співпадають з одержаними раніше графічним методом. Знаходимо другі частинні похідні функції L і обчислимо їх значення у критичній точці.

Запишемо . З обмеження знаходимо зв’язки на _{диференціали} , . Тоді

Оскільки , то D – точка мінімуму.

Приклад 4.7. За умовою прикладу 4.6 знайти найменше і найбільше значення функції .

Розв’язок. Найменше значення функція приймає в точці М(4;1) (рис.4.2): f (M)=0.Функція z має два локальних максимуми: в вершині Е(6;0) функція f (E)=5, в вершині С(0;4) функція f (C)=25, причому глобальний максимум досягається в вершині С і .