Розділ 6. Елементи стохастичного програмування

6.1. Загальна характеристика задач стохастичного програмування

Задачі та моделі, в яких вихідна інформація задана строго однозначно, називають детермінованими. В реальності ж детерміновані моделі є неадекватними модельованим економічним процесам. Це пояснюється неповнотою, неточністю даних, на основі яких формується модель. В одних випадках деякі параметри моделі (а можливо і всі) носять ймовірнісний характер. Тоді говорять про ситуації пов’язані з ризиком. Ризик – це невід’ємна частина процесу управління; його неможливо уникнути, але можна і потрібно враховувати.

В інших випадках наявна інформація не дозволяє уявити характер зміни параметрів, які характеризують процес, що вивчається. Такі ситуації називають невизначеними. Оптимізаційні задачі, при постановці яких нема вичерпної інформації про її умови, називають стохастичними. Оскільки стохастичні задачі доводиться розв’язувати при недостатній інформації, то це веде до зниження економічної ефективності отриманих рішень.

Для дослідження описаних ситуацій розробляються спеціальні методи, об’єднані в розділі стохастичного програмування, яке вивчає теорію та методи розв’язування умовних екстремальних задач при неповній інформації про її умови.

Розрізняють активне та пасивне стохастичне програмування. Пасивне стохастичне програмування – це сукупність прийомів, які дозволяють знаходити найкращі рішення і екстремальні значення цільових функцій в оптимізаційних задачах з випадковими вихідними даними. Активне стохастичне програмування – це сукупність прийомів, які дозволяють розвивати методи вибору рішень в умовах ризику та невизначеності.

В стохастичному програмуванні досліджуються одноетапні, двохетапні та багатоетапні задачі.

Одноетапними називають задачі, в яких послідовність поступлення вихідної інформації не має значення при виборі рішення. Воно приймається один раз і надалі не коригується.

Двоетапні стохастичні задачі виникають, наприклад, при плануванні випуску продукції у випадку, коли відсутні дані про попит на неї. В такій ситуації спочатку приймається рішення про об’єм випуску на основі наявної інформації з попереднього досвіду (1-й етап), а потім після встановлення попиту приймається коригуюче рішення (2-й етап). При цьому попереднє рішення не повинно виключати можливості його корекції на другому етапі. Крім того, попередній і коригуючий плани узгоджують так, щоб забезпечувалися мінімальні середні витрати за два етапи.

У багатоетапних задачах в міру отримання інформації є можливість неодноразово коригувати рішення.

В умовах обмеженої інформації та невизначеності, управлінські рішення можуть прийматися або без використання кількісних значень ймовірностей або з їх використанням.

На кожному з цих випадків ми зупинимося далі.

6.2. Задача розподілу ресурсів в стохастичному варіанті

Нехай деякі ресурси величиною потрібно вкласти в розвиток двох неоднорідних підприємств і . Якщо в підприємство вкласти одиниць ресурсу, то прибуток з ймовірністю буде становити , а зменшиться до величини , ( ); прибуток з ймовірністю складатиме , а зменшується до величини , ( ). Якщо в підприємство вкласти ( ) одиниць ресурсу, то: прибуток з ймовірністю складатиме , а ( ) зменшується до величини ; прибуток з ймовірністю складатиме , а ( ) зменшується до величини , ( ). Необхідно так розподілити виділені ресурси між двома підприємствами на n-річний період, щоб повний прибуток був максимальний.

Тут , , , – неперервні функції від .

Оскільки випадкові величини і , , – незалежні, то

.

Тоді закон розподілу дискретної випадкової величини {кількість засобів, які підлягають розподілу} ={ }, , має вигляд

Визначимо як математичне сподівання повного доходу від - етапного процесу, якщо витримується принцип оптимальності. Тоді отримаємо наступні функціональні рівняння

		(6.1)

		(6.2)

Приклад 6.1. Нехай деякі ресурси величиною потрібно вкласти в розвиток двох неоднорідних підприємств і . Якщо в підприємство вкласти одиниць ресурсу, то прибуток з ймовірністю буде становити , а зменшується до величини і з ймовірністю прибуток буде становити , зменшуватиметься до величини . Якщо в підприємство вкласти ( ) одиниць ресурсу, то прибуток з ймовірністю складатиме , а ( ) зменшується до величини і з ймовірністю прибуток буде становити , а ( ) зменшується до величини .

Необхідно так розподілити виділені ресурси між двома підприємствами на дворічний період, щоб повний прибуток був максимальний.

Розв’язок. Період тривалістю два роки розіб’ємо на два етапи. Знайдемо за формулою (6.2) значення функції

За формулою (6.1) шукаємо значення функції , враховуючи, що :

Таким чином, робимо висновок, що на початок першого року всі ресурси потрібно вкласти в підприємство і їх кількість зменшується до величини . На початок другого року залишок ресурсів в кількості потрібно вкласти в підприємство і його кількість зменшується до величини . При такому розподілі ресурсів максимальний дохід буде дорівнювати .